Verilen denklem sistemi aşağıdaki gibidir:
$x - y = 1 \quad (1)$
$x^2 + y^2 = 13 \quad (2)$
Adım 1: Birinci denklemden bir değişkeni çekmek.
Birinci denklem olan $x - y = 1$ ifadesinden $x$ değişkenini $y$ cinsinden ifade edelim:
$x = y + 1 \quad (3)$
Adım 2: Çekilen değişkeni ikinci denklemde yerine koymak.
Elde ettiğimiz $x = y + 1$ ifadesini ikinci denklem olan $x^2 + y^2 = 13$ denkleminde yerine yazalım:
$(y + 1)^2 + y^2 = 13$
Adım 3: Elde edilen ikinci dereceden denklemi çözmek.
Parantez karesini açalım:
$(y^2 + 2y + 1) + y^2 = 13$
Benzer terimleri birleştirelim:
$2y^2 + 2y + 1 = 13$
Denklemi sıfıra eşitleyelim:
$2y^2 + 2y + 1 - 13 = 0$
$2y^2 + 2y - 12 = 0$
Denklemi $2$ ile sadeleştirelim:
$y^2 + y - 6 = 0$
Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak çözebiliriz. Çarpımları $-6$ ve toplamları $1$ olan iki sayı $3$ ve $-2$'dir:
$(y + 3)(y - 2) = 0$
Buradan $y$ için iki farklı değer elde ederiz:
$y + 3 = 0 \implies y_1 = -3$
$y - 2 = 0 \implies y_2 = 2$
Adım 4: Bulunan $y$ değerlerine karşılık gelen $x$ değerlerini bulmak.
Bulduğumuz $y$ değerlerini $x = y + 1$ denkleminde yerine koyarak $x$ değerlerini bulalım:
Durum 1: $y_1 = -3$ için
$x_1 = -3 + 1 = -2$
İlk çözüm çifti: $(-2, -3)$
Durum 2: $y_2 = 2$ için
$x_2 = 2 + 1 = 3$
İkinci çözüm çifti: $(3, 2)$
Adım 5: Çözüm kümesini yazmak.
Denklem sisteminin çözüm kümesi, bulunan tüm $(x,y)$ çiftlerinden oluşur:
Çözüm Kümesi $= \{ (3,2), (-2,-3) \}$
