Bir torbada $4$ kırmızı ve $6$ mavi top vardır. Torbadan rastgele art arda iki top çekiliyor (geri konulmuyor). Birinci topun kırmızı olduğu bilindiğine göre, ikinci topun da kırmızı olma olasılığı kaçtır?
A) $\frac{3}{10}$
B) $\frac{4}{9}$
C) $\frac{1}{3}$
D) $\frac{3}{9}$
E) $\frac{2}{5}$
Bu problem, koşullu olasılık kavramını anlamamızı gerektiren güzel bir örnektir. Adım adım ilerleyerek çözüme ulaşalım:
-
1. Başlangıç Durumu:
Öncelikle torbadaki toplam top sayısını ve kırmızı top sayısını belirleyelim:
- Kırmızı top sayısı: $4$
- Mavi top sayısı: $6$
- Toplam top sayısı: $4 + 6 = 10$
-
2. Birinci Topun Çekilmesi (Bilinen Durum):
Soruda bize birinci topun kırmızı olduğu bilgisi verilmiştir. Bu bilgi, torbadaki top sayısını ve kırmızı top sayısını değiştirecektir. Çünkü çekilen top geri konulmuyor.
- Birinci top kırmızı çekildiğine göre, torbadan bir kırmızı top eksilmiştir.
- Yeni kırmızı top sayısı: $4 - 1 = 3$
- Mavi top sayısı: $6$ (değişmedi)
- Yeni toplam top sayısı: $10 - 1 = 9$
-
3. İkinci Topun Çekilmesi (İstenen Olasılık):
Şimdi, torbada kalan $9$ toptan ikinci topun da kırmızı olma olasılığını hesaplayacağız. Bu durumda torbada $3$ kırmızı ve $6$ mavi top kalmıştır.
- Torbadaki kalan kırmızı top sayısı: $3$
- Torbadaki kalan toplam top sayısı: $9$
- İkinci topun kırmızı olma olasılığı (birincinin kırmızı olduğu bilindiğinde): $\frac{\text{Kalan kırmızı top sayısı}}{\text{Kalan toplam top sayısı}} = \frac{3}{9}$
-
4. Olasılığın Sadeleştirilmesi:
Elde ettiğimiz olasılığı en sade haline getirelim:
- $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
Bu durumda, birinci topun kırmızı olduğu bilindiğine göre, ikinci topun da kırmızı olma olasılığı $\frac{1}{3}$'tür.
Cevap C seçeneğidir.
