$\int \frac{e^{2x}}{\sqrt{1+e^{2x}}} dx$ integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) $\sqrt{1+e^{2x}} + C$
B) $2\sqrt{1+e^{2x}} + C$
C) $\frac{1}{2}\sqrt{1+e^{2x}} + C$
D) $\frac{1}{2}(1+e^{2x})^{3/2} + C$
E) $2(1+e^{2x})^{3/2} + C$
Bu integral sorusunu çözmek için genellikle "değişken değiştirme" veya "u-substitüsyonu" yöntemini kullanırız. Bu yöntem, integrali daha basit bir forma dönüştürmemizi sağlar.
- Adım 1: Uygun Değişken Değişimini Belirleme
- İntegralimiz $\int \frac{e^{2x}}{\sqrt{1+e^{2x}}} dx$ şeklindedir. Paydada bir köklü ifade ve payda da bu ifadenin türeviyle ilişkili bir terim görüyoruz. Bu durumda, kökün içindeki ifadeyi $u$ olarak seçmek genellikle işe yarar.
- $u = 1+e^{2x}$ olsun.
- Adım 2: Diferansiyeli Hesaplama
- Şimdi $u$'nun $x$'e göre türevini alarak $du$'yu bulalım:
- $du = \frac{d}{dx}(1+e^{2x}) dx$
- $du = (0 + e^{2x} \cdot 2) dx$
- $du = 2e^{2x} dx$
- İntegralimizdeki $e^{2x} dx$ ifadesini $du$ cinsinden yazmak için eşitliğin her iki tarafını $2$'ye bölelim:
- $e^{2x} dx = \frac{1}{2} du$
- Adım 3: İntegrali Yeni Değişken Cinsinden Yazma
- Şimdi orijinal integrali $u$ cinsinden yeniden yazalım:
- $\int \frac{e^{2x}}{\sqrt{1+e^{2x}}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} du$
- Sabit çarpanı integral dışına alalım:
- $= \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} du$
- Kareköklü ifadeyi üslü ifade olarak yazalım: $\sqrt{u} = u^{1/2}$. Dolayısıyla $\frac{1}{\sqrt{u}} = u^{-1/2}$.
- $= \frac{1}{2} \int u^{-1/2} du$
- Adım 4: İntegrali Hesaplama
- Şimdi $u^{-1/2}$'nin integralini alalım. Kuvvet kuralını ($ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $) kullanarak:
- $\int u^{-1/2} du = \frac{u^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C$
- $= \frac{u^{1/2}}{1/2} + C$
- $= 2u^{1/2} + C$
- $= 2\sqrt{u} + C$
- Şimdi bu sonucu integralin dışındaki $\frac{1}{2}$ sabiti ile çarpalım:
- $\frac{1}{2} \cdot (2\sqrt{u} + C) = \sqrt{u} + C$ (Buradaki $C$ sabiti, $\frac{1}{2}$ ile çarpılan orijinal sabiti içerir ve hala genel bir sabiti temsil eder.)
- Adım 5: Orijinal Değişkene Geri Dönme
- Son olarak, $u$ yerine $1+e^{2x}$ ifadesini tekrar yazalım:
- $\sqrt{1+e^{2x}} + C$
Bu sonuç, seçenekler arasında A seçeneği ile aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
