Bu soruyu çözmek için limitin temel özelliklerini kullanacağız.
Verilen ifade $\lim_{x \to 2} [f^2(x) + 4g(x) - 5]$ şeklindedir.
1. Adım: Toplam ve Fark Limit Özelliği
Limit, toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılabilir. Yani, $\lim_{x \to a} [h(x) \pm k(x)] = \lim_{x \to a} h(x) \pm \lim_{x \to a} k(x)$ özelliğini kullanarak ifadeyi ayırabiliriz:
$\lim_{x \to 2} [f^2(x) + 4g(x) - 5] = \lim_{x \to 2} f^2(x) + \lim_{x \to 2} (4g(x)) - \lim_{x \to 2} 5$
2. Adım: Kuvvet Limit Özelliği
Bir fonksiyonun kuvvetinin limiti, limitin kuvvetine eşittir. Yani, $\lim_{x \to a} [h(x)]^n = [\lim_{x \to a} h(x)]^n$ özelliğini $\lim_{x \to 2} f^2(x)$ terimine uygulayabiliriz:
$\lim_{x \to 2} f^2(x) = (\lim_{x \to 2} f(x))^2$
3. Adım: Sabit Çarpım Limit Özelliği
Bir fonksiyonun sabit bir sayı ile çarpımının limiti, sabit sayının limit ile çarpımına eşittir. Yani, $\lim_{x \to a} [c \cdot h(x)] = c \cdot \lim_{x \to a} h(x)$ özelliğini $\lim_{x \to 2} (4g(x))$ terimine uygulayabiliriz:
$\lim_{x \to 2} (4g(x)) = 4 \cdot \lim_{x \to 2} g(x)$
4. Adım: Sabit Fonksiyonun Limiti
Bir sabit fonksiyonun limiti, o sabit sayının kendisine eşittir. Yani, $\lim_{x \to a} c = c$ özelliğini $\lim_{x \to 2} 5$ terimine uygulayabiliriz:
$\lim_{x \to 2} 5 = 5$
5. Adım: Verilen Limit Değerlerini Yerine Yazma
Şimdi tüm bu özellikleri kullanarak ve soruda verilen $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ ve $\lim_{x \to 2} g(x) = -1$ değerlerini yerine yazarak hesaplamayı yapalım:
$\lim_{x \to 2} [f^2(x) + 4g(x) - 5] = (\lim_{x \to 2} f(x))^2 + 4 \cdot (\lim_{x \to 2} g(x)) - 5$
$= (3)^2 + 4 \cdot (-1) - 5$
$= 9 + (-4) - 5$
$= 9 - 4 - 5$
$= 5 - 5$
$= 0$
Bu nedenle, ifadenin değeri $0$'dır.
Doğru cevap A seçeneğidir.
