$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-16}{x-4} & , \ x \neq 4 \\ a & , \ x = 4 \end{cases}$ fonksiyonunun $x=4$ noktasında sürekli olması için $a$ değeri kaç olmalıdır?
A) $2$
B) $4$
C) $8$
D) $16$
E) $0$
Bir fonksiyonun belirli bir noktada sürekli olabilmesi için üç temel koşulu sağlaması gerekir. Bu koşullar, $x=c$ noktasında süreklilik için şunlardır:
- $f(c)$ tanımlı olmalıdır. Yani, fonksiyonun o noktadaki değeri mevcut olmalıdır.
- $\lim_{x \to c} f(x)$ limiti var olmalıdır. Yani, fonksiyonun o noktaya sağdan ve soldan yaklaştıkça limit değerleri eşit olmalıdır.
- $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$ olmalıdır. Yani, fonksiyonun o noktadaki limit değeri, fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olmalıdır.
Şimdi, verilen $f(x)$ fonksiyonunun $x=4$ noktasında sürekli olması için $a$ değerini bulalım:
- 1. Adım: $f(4)$ değerini bulalım.
Fonksiyon tanımına göre, $x=4$ olduğunda $f(x) = a$ olarak verilmiştir. Dolayısıyla, $f(4) = a$ olur. Bu değerin tanımlı olması gerekir.
- 2. Adım: $\lim_{x \to 4} f(x)$ limitini bulalım.
Limit hesaplarken $x$ değeri $4$'e yaklaşıyor, ancak tam olarak $4$ olmuyor. Bu durumda fonksiyonun $x \neq 4$ için geçerli olan kısmını kullanırız: $f(x) = \frac{x^2-16}{x-4}$.
$\lim_{x \to 4} \frac{x^2-16}{x-4}$ limitini hesaplamamız gerekiyor.
Eğer $x=4$ değerini doğrudan yerine yazarsak, $\frac{4^2-16}{4-4} = \frac{16-16}{0} = \frac{0}{0}$ belirsizliğini elde ederiz. Bu durumda ifadeyi sadeleştirmemiz gerekir.
Pay kısmındaki $x^2-16$ ifadesi iki kare farkı özdeşliğidir ve $(x-4)(x+4)$ şeklinde çarpanlarına ayrılabilir.
O halde limit ifadesi şöyle olur:
$\lim_{x \to 4} \frac{(x-4)(x+4)}{x-4}$
$x \neq 4$ olduğu için $(x-4)$ terimlerini sadeleştirebiliriz:
$\lim_{x \to 4} (x+4)$
Şimdi $x=4$ değerini yerine yazabiliriz:
$4+4 = 8$
Yani, $\lim_{x \to 4} f(x) = 8$ olur.
- 3. Adım: Süreklilik koşulunu uygulayalım.
Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktadaki limit değeri, fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olmalıdır. Yani, $\lim_{x \to 4} f(x) = f(4)$ olmalıdır.
Bulduğumuz değerleri yerine yazarsak:
$8 = a$
Dolayısıyla, $a$ değeri $8$ olmalıdır.
Cevap C seçeneğidir.
