Kütlesi $m$, öz ısısı $c$, sıcaklığı $T_1$ olan bir madde ile kütlesi $2m$, öz ısısı $c$, sıcaklığı $T_2$ olan başka bir madde yalıtılmış bir ortamda karıştırıldığında, ısıl denge sıcaklığı $T_s$ ne olur? ($T_1 > T_2$ olduğu varsayılmıştır.)
A) $T_s = \frac{T_1 + T_2}{2}$
B) $T_s = \frac{T_1 + 2T_2}{3}$
C) $T_s = \frac{2T_1 + T_2}{3}$
D) $T_s = \frac{m \cdot c \cdot T_1 + 2m \cdot c \cdot T_2}{m \cdot c + 2m \cdot c}$
E) $T_s = T_1 - T_2$
Bu soruyu çözmek için, yalıtılmış bir ortamda karıştırılan maddeler arasındaki ısı alışverişi prensibini kullanacağız. Isıl dengeye ulaşıldığında, sıcak madde tarafından kaybedilen ısı miktarı, soğuk madde tarafından kazanılan ısı miktarına eşit olacaktır.
- Isı Alışverişi Prensibi: Yalıtılmış bir sistemde, sıcaklıkları farklı iki madde karıştırıldığında, ısıl dengeye ulaşana kadar sıcak madde ısı kaybederken, soğuk madde ısı kazanır. Bu durumda, kaybedilen toplam ısı miktarı, kazanılan toplam ısı miktarına eşittir. Yani, $Q_{kaybedilen} = Q_{kazanılan}$.
- Isı Miktarı Formülü: Bir maddenin sıcaklığını değiştirmek için gerekli olan ısı miktarı $Q = m \cdot c \cdot \Delta T$ formülü ile hesaplanır. Burada $m$ kütle, $c$ öz ısı ve $\Delta T$ sıcaklık değişimidir.
- Verilen Bilgileri Belirleyelim:
- Birinci Madde: Kütlesi $m_1 = m$, öz ısısı $c_1 = c$, başlangıç sıcaklığı $T_{1,başlangıç} = T_1$.
- İkinci Madde: Kütlesi $m_2 = 2m$, öz ısısı $c_2 = c$, başlangıç sıcaklığı $T_{2,başlangıç} = T_2$.
- Soruda $T_1 > T_2$ olduğu belirtilmiştir. Bu durumda birinci madde ısı kaybedecek, ikinci madde ısı kazanacaktır. Isıl denge sıcaklığı $T_s$ ise $T_2 < T_s < T_1$ olacaktır.
- Isı Kaybı ve Isı Kazancını Hesaplayalım:
- Birinci Maddenin Kaybettiği Isı ($Q_{kaybedilen}$): Sıcaklığı $T_1$'den $T_s$'ye düşecektir.
$Q_{kaybedilen} = m_1 \cdot c_1 \cdot (T_1 - T_s) = m \cdot c \cdot (T_1 - T_s)$
- İkinci Maddenin Kazandığı Isı ($Q_{kazanılan}$): Sıcaklığı $T_2$'den $T_s$'ye yükselecektir.
$Q_{kazanılan} = m_2 \cdot c_2 \cdot (T_s - T_2) = 2m \cdot c \cdot (T_s - T_2)$
- Isı Alışverişi Prensibini Uygulayalım:
$Q_{kaybedilen} = Q_{kazanılan}$
$m \cdot c \cdot (T_1 - T_s) = 2m \cdot c \cdot (T_s - T_2)$
- Denklemi $T_s$ için Çözelim:
Denklemin her iki tarafında da $m \cdot c$ terimleri olduğu için bunları sadeleştirebiliriz:
$(T_1 - T_s) = 2 \cdot (T_s - T_2)$
Parantezi açalım:
$T_1 - T_s = 2T_s - 4T_2$
$T_s$ terimlerini bir tarafa, diğer terimleri diğer tarafa toplayalım:
$T_1 + 4T_2 = 2T_s + T_s$
$T_1 + 4T_2 = 3T_s$
Şimdi $T_s$'yi yalnız bırakalım:
$T_s = \frac{T_1 + 4T_2}{3}$
Yukarıdaki çözümde bir hata yaptım. Denklemi tekrar kontrol edelim:
- Isı Alışverişi Prensibini Uygulayalım (Tekrar):
$Q_{kaybedilen} = Q_{kazanılan}$
$m \cdot c \cdot (T_1 - T_s) = 2m \cdot c \cdot (T_s - T_2)$
- Denklemi $T_s$ için Çözelim (Tekrar):
Denklemin her iki tarafında da $m \cdot c$ terimleri olduğu için bunları sadeleştirebiliriz:
$(T_1 - T_s) = 2 \cdot (T_s - T_2)$
Parantezi açalım:
$T_1 - T_s = 2T_s - 2T_2$
$T_s$ terimlerini bir tarafa, diğer terimleri diğer tarafa toplayalım:
$T_1 + 2T_2 = 2T_s + T_s$
$T_1 + 2T_2 = 3T_s$
Şimdi $T_s$'yi yalnız bırakalım:
$T_s = \frac{T_1 + 2T_2}{3}$
Bu sonuç, seçenekler arasında B seçeneği ile aynıdır.
Cevap B seçeneğidir.
