$ABC$ üçgeninde $[AD]$ iç açıortaydır. $|AB| = 9$ cm ve $|AC| = 15$ cm'dir. İç açıortay uzunluğu $|AD| = x$ cm olduğuna göre, $x$'in alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
A) $11$Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda bir üçgende iç açıortay uzunluğunun alabileceği en büyük tam sayı değerini bulmamız isteniyor. İç açıortay uzunluğu ile ilgili temel bir formülü ve eşitsizliği kullanarak bu soruyu adım adım çözelim.
$ABC$ üçgeninde $[AD]$ iç açıortay olmak üzere, $|AD|$ uzunluğu $x$ ile gösterilir. Bu uzunluğun karesi için bir formül vardır:
$x^2 = |AB| \cdot |AC| - |BD| \cdot |DC|$
Burada $|AB|$ ve $|AC|$ açıortayın çıktığı köşenin kenar uzunluklarıdır. $|BD|$ ve $|DC|$ ise açıortayın karşı kenarı böldüğü parçaların uzunluklarıdır.
Üçgenin kenar uzunlukları pozitif olduğu için $|BD| > 0$ ve $|DC| > 0$'dır. Dolayısıyla, $|BD| \cdot |DC|$ çarpımı her zaman pozitif bir değerdir ($|BD| \cdot |DC| > 0$).
Bu durumda, açıortay uzunluğu formülündeki çıkarma işleminden dolayı $x^2$ değeri, $|AB| \cdot |AC|$ çarpımından daha küçük olmak zorundadır:
$x^2 < |AB| \cdot |AC|$
Soruda verilen değerler $|AB| = 9$ cm ve $|AC| = 15$ cm'dir. Bu değerleri eşitsizliğimize yerleştirelim:
$x^2 < 9 \cdot 15$
$x^2 < 135$
Şimdi $x^2 < 135$ eşitsizliğini sağlayan $x$ değerlerini bulmalıyız. Her iki tarafın karekökünü alırsak:
$x < \sqrt{135}$
$\sqrt{135}$ sayısının hangi tam sayılar arasında olduğunu bulmak için tam kareleri düşünelim:
Görüldüğü gibi $121 < 135 < 144$ olduğundan, $\sqrt{121} < \sqrt{135} < \sqrt{144}$ yani $11 < \sqrt{135} < 12$ diyebiliriz.
Bu durumda $x < \sqrt{135}$ eşitsizliği, $x$ değerinin yaklaşık olarak $11.618...$'den küçük olması gerektiğini gösterir.
$x$ bir uzunluk olduğu için pozitif olmak zorundadır. $x < 11.618...$ koşulunu sağlayan en büyük tam sayı değeri $11$'dir.
Yani, $x$ en fazla $11$ olabilir.
Bu nedenle, $x$'in alabileceği en büyük tam sayı değeri $11$'dir.
Cevap A seçeneğidir.
