ALES'te Zamanla Yarış: Hareket Problemlerinde Pratik Çözüm Yolları Test 1

A ve B şehirleri arasındaki yolu saatte $60\text{ km}$ hızla giden bir araç, aynı yolu saatte $90\text{ km}$ hızla giden bir araçtan $2\text{ saat}$ daha geç tamamlamaktadır. Buna göre A ile B arası kaç $\text{km}$'dir?

A) $300$
B) $320$
C) $360$
D) $400$

Bu problemde, aynı yolu farklı hızlarla giden iki aracın süre farkından yola çıkarak yolun uzunluğunu bulmamız isteniyor. Hız, yol ve zaman arasındaki temel ilişkiyi hatırlayarak adım adım ilerleyelim.

• Temel Formülü Hatırlayalım:

  Yol, hız ve zaman arasındaki ilişki şöyledir: $ \text{Yol} = \text{Hız} \times \text{Zaman} $. Bu formülü kullanarak problemi çözebiliriz.

• Verilen Bilgileri Belirleyelim:

  A ve B şehirleri arasındaki yolun uzunluğuna $D$ diyelim (bu bizim bulmak istediğimiz değer).

  Birinci aracın hızı $V_1 = 60\text{ km/saat}$.

  İkinci aracın hızı $V_2 = 90\text{ km/saat}$.

  Birinci araç, ikinci araçtan $2\text{ saat}$ daha geç tamamlıyor. Yani, birinci aracın süresi $T_1$, ikinci aracın süresi $T_2$ ise, $T_1 = T_2 + 2$ diyebiliriz.

• Her Araç İçin Zamanı Yol ve Hız Cinsinden Yazalım:

  Formülümüz $ \text{Yol} = \text{Hız} \times \text{Zaman} $ olduğundan, zamanı yalnız bırakırsak $ \text{Zaman} = \frac{\text{Yol}}{\text{Hız}} $ olur.

  Birinci araç için geçen süre: $T_1 = \frac{D}{V_1} = \frac{D}{60}$.

  İkinci araç için geçen süre: $T_2 = \frac{D}{V_2} = \frac{D}{90}$.

• Süre Farkı Denklemini Kuralım:

  Soruda bize $T_1 = T_2 + 2$ olduğu verilmişti. Şimdi bulduğumuz $T_1$ ve $T_2$ ifadelerini bu denklemde yerine yazalım:

  $ \frac{D}{60} = \frac{D}{90} + 2 $

• Denklemi Çözerek $D$ Değerini Bulalım:

  Denklemdeki kesirlerden kurtulmak için paydaların ortak katını bulalım. $60$ ve $90$'ın en küçük ortak katı $180$'dir. Denklemin her iki tarafını $180$ ile çarpalım:

  $ 180 \times \frac{D}{60} = 180 \times \frac{D}{90} + 180 \times 2 $

  Sadeleştirmeleri yapalım:

  $ 3D = 2D + 360 $

  $2D$ terimini denklemin sol tarafına atalım:

  $ 3D - 2D = 360 $

  $ D = 360 $

• Sonucu Kontrol Edelim (İsteğe Bağlı Ama Faydalı):

  Eğer yol $360\text{ km}$ ise:

  Birinci aracın süresi ($60\text{ km/saat}$ hızla): $T_1 = \frac{360}{60} = 6\text{ saat}$.

  İkinci aracın süresi ($90\text{ km/saat}$ hızla): $T_2 = \frac{360}{90} = 4\text{ saat}$.

  Süre farkı: $T_1 - T_2 = 6 - 4 = 2\text{ saat}$. Bu, soruda verilen bilgiyle uyuşuyor. Demek ki cevabımız doğru!

Buna göre A ile B arası $360\text{ km}$'dir.

Cevap C seçeneğidir.