ALES'te Zamanla Yarış: Hareket Problemlerinde Pratik Çözüm Yolları Test 1

A noktasından B noktasına $V$ hızıyla giden bir araç, B'den A'ya $3V$ hızıyla dönmüştür. Toplam yolculuk $8\text{ saat}$ sürdüğüne göre, dönüş yolculuğu kaç saat sürmüştür?

A) $1$
B) $2$
C) $3$
D) $4$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu problemde, bir aracın farklı hızlarda iki yönlü bir yolculuk yaptığını ve toplam sürenin verildiğini görüyoruz. Dönüş yolculuğunun süresini bulmak için hız, zaman ve mesafe arasındaki ilişkiyi kullanacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Verilen Bilgileri Anlayalım:

  Bu problemde bize aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

  Araç A noktasından B noktasına $V$ hızıyla gidiyor.

  Araç B noktasından A noktasına $3V$ hızıyla dönüyor.

  Toplam yolculuk süresi $8$ saattir.

  Bizden dönüş yolculuğunun süresi isteniyor.

• 2. Değişkenleri Tanımlayalım:

  A ile B arasındaki mesafeye $D$ diyelim. Gidiş ve dönüş mesafeleri aynıdır.

  Gidiş süresine $T_1$ diyelim (A'dan B'ye).

  Dönüş süresine $T_2$ diyelim (B'den A'ya). Bizim bulmak istediğimiz değer $T_2$'dir.

• 3. Hız, Mesafe ve Zaman İlişkisini Kullanalım:

  Genel formül: Mesafe = Hız $\times$ Zaman ($D = S \times T$)

  Gidiş yolculuğu için (A'dan B'ye):

  Hız: $V$

  Süre: $T_1$

  Mesafe: $D$

  Bu durumda, $D = V \times T_1$ olur. Buradan $T_1 = \frac{D}{V}$ diyebiliriz.

  Dönüş yolculuğu için (B'den A'ya):

  Hız: $3V$

  Süre: $T_2$

  Mesafe: $D$ (Çünkü aynı yolu geri dönüyor)

  Bu durumda, $D = 3V \times T_2$ olur. Buradan $T_2 = \frac{D}{3V}$ diyebiliriz.

• 4. Toplam Süre Denklemini Kuralım:

  Toplam yolculuk süresi, gidiş süresi ile dönüş süresinin toplamıdır:

  $T_{toplam} = T_1 + T_2$

  Bize toplam sürenin $8$ saat olduğu verilmiş:

  $8 = T_1 + T_2$

• 5. Denklemleri Birleştirelim ve Çözelim:

  Şimdi $T_1$ ve $T_2$ için bulduğumuz ifadeleri toplam süre denklemine yerleştirelim:

  $8 = \frac{D}{V} + \frac{D}{3V}$

  Bu denklemi çözmek için sağ taraftaki kesirleri ortak paydada birleştirelim. Ortak payda $3V$'dir:

  $8 = \frac{3D}{3V} + \frac{D}{3V}$

  $8 = \frac{3D + D}{3V}$

  $8 = \frac{4D}{3V}$

  Şimdi $\frac{D}{V}$ ifadesini yalnız bırakalım. Her iki tarafı $3$ ile çarpıp $4$ ile bölebiliriz:

  $\frac{D}{V} = \frac{8 \times 3}{4}$

  $\frac{D}{V} = \frac{24}{4}$

  $\frac{D}{V} = 6$

  Bu, gidiş süresi olan $T_1$'e eşittir. Yani gidiş süresi $6$ saattir.

• 6. Dönüş Süresini Bulalım:

  Bizden dönüş süresi $T_2$ isteniyordu. $T_2 = \frac{D}{3V}$ olduğunu biliyoruz.

  Bu ifadeyi $\frac{1}{3} \times \frac{D}{V}$ şeklinde yazabiliriz.

  Daha önce $\frac{D}{V} = 6$ bulmuştuk. Bu değeri yerine koyalım:

  $T_2 = \frac{1}{3} \times 6$

  $T_2 = 2$ saat.

• 7. Sonucu Kontrol Edelim:

  Gidiş süresi $T_1 = 6$ saat, dönüş süresi $T_2 = 2$ saat.

  Toplam süre $T_1 + T_2 = 6 + 2 = 8$ saat. Bu, soruda verilen toplam süreye eşittir. Yani çözümümüz doğru!

Dönüş yolculuğu $2$ saat sürmüştür.

Cevap B seçeneğidir.