Aynı anda bir kavşaktan ayrılan iki araçtan biri kuzeye doğru $60$ km/sa hızla, diğeri kuzeydoğuya ($60^\circ$ açıyla) doğru $80$ km/sa hızla hareket etmektedir. Bir saat sonra bu iki araç arasındaki mesafe kaç km olur?
A) $10\sqrt{13}$Merhaba öğrenciler, bu problemi adım adım çözelim. Problem, iki aracın bir kavşaktan ayrıldıktan sonraki bir saat sonra aralarındaki mesafeyi bulmamızı istiyor.
Araçlardan biri kuzeye doğru 60 km/sa hızla gidiyor. Bir saat sonra aldığı mesafe:
Mesafe = Hız × Zaman = $60 \text{ km/sa} \times 1 \text{ saat} = 60 \text{ km}$
Diğer araç kuzeydoğuya doğru 80 km/sa hızla gidiyor. Bir saat sonra aldığı mesafe:
Mesafe = Hız × Zaman = $80 \text{ km/sa} \times 1 \text{ saat} = 80 \text{ km}$
Kavşağı orijin (0,0) noktası olarak alalım. Kuzeye giden araç (0, 60) noktasına, kuzeydoğuya giden araç ise bir miktar sağa ve yukarı gitmiş olacak. Kuzeydoğu açısı $60^\circ$ olduğu için, bu aracın x ve y koordinatlarını bulabiliriz.
Kuzeydoğuya giden aracın x koordinatı: $80 \times \cos(60^\circ) = 80 \times \frac{1}{2} = 40 \text{ km}$
Kuzeydoğuya giden aracın y koordinatı: $80 \times \sin(60^\circ) = 80 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 40\sqrt{3} \text{ km}$
Yani bu araç $(40, 40\sqrt{3})$ noktasına gitmiş olacak.
İki nokta arasındaki mesafeyi bulmak için mesafe formülünü kullanabiliriz:
Mesafe = $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
Burada $(x_1, y_1) = (0, 60)$ ve $(x_2, y_2) = (40, 40\sqrt{3})$.
Mesafe = $\sqrt{(40 - 0)^2 + (40\sqrt{3} - 60)^2}$
Mesafe = $\sqrt{40^2 + (40\sqrt{3} - 60)^2}$
Mesafe = $\sqrt{1600 + (1600 \times 3 - 4800\sqrt{3} + 3600)}$
Mesafe = $\sqrt{1600 + 4800 - 4800\sqrt{3} + 3600}$
Mesafe = $\sqrt{10000 - 4800\sqrt{3}}$
Bu ifadeyi düzenleyelim:
Mesafe = $\sqrt{40^2( \frac{10000}{1600} - \frac{4800\sqrt{3}}{1600})}$
Mesafe = $40\sqrt{ \frac{25}{4} - 3\sqrt{3}}$
Bu ifadeyi daha da basitleştirmek zor görünüyor. Başka bir yoldan gidelim.
Mesafe = $\sqrt{(40 - 0)^2 + (40\sqrt{3} - 60)^2}$
Mesafe = $\sqrt{1600 + (40\sqrt{3} - 60)^2}$
Mesafe = $\sqrt{1600 + 1600(3) - 2(40\sqrt{3})(60) + 3600}$
Mesafe = $\sqrt{1600 + 4800 - 4800\sqrt{3} + 3600}$
Mesafe = $\sqrt{10000 - 4800\sqrt{3}}$
Mesafe = $\sqrt{400(25 - 12\sqrt{3})}$
Mesafe = $20\sqrt{25 - 12\sqrt{3}}$
Bu da seçeneklerde yok. Kosinüs teoremini kullanalım.
İki araç arasındaki mesafeyi bulmak için kosinüs teoremini kullanabiliriz. Araçların aldıkları mesafeler (60 km ve 80 km) ve aralarındaki açı ($120^\circ$) biliniyor.
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$
Burada $a = 60$, $b = 80$ ve $C = 120^\circ$. $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$.
$c^2 = 60^2 + 80^2 - 2(60)(80) \cos(120^\circ)$
$c^2 = 3600 + 6400 - 9600(-\frac{1}{2})$
$c^2 = 10000 + 4800 = 14800$
$c = \sqrt{14800} = \sqrt{400 \times 37} = 20\sqrt{37}$
Açıda bir hata var. Açıyı düzeltelim.
Araçlardan biri kuzeye, diğeri kuzeydoğuya $60^\circ$ açıyla gidiyor. Bu durumda aralarındaki açı $120^\circ$ değil, $60^\circ$ olmalı.
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$
Burada $a = 60$, $b = 80$ ve $C = 60^\circ$. $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.
$c^2 = 60^2 + 80^2 - 2(60)(80) \cos(60^\circ)$
$c^2 = 3600 + 6400 - 9600(\frac{1}{2})$
$c^2 = 10000 - 4800 = 5200$
$c = \sqrt{5200} = \sqrt{400 \times 13} = 20\sqrt{13}$
Cevap B seçeneğidir.
