Bir küpün yüzey alanı 216 cm²'dir. Bu küpün bir köşesinden çıkan üç ayrıtın uzunluklarının geometrik ortalaması kaç cm'dir?
A) 4Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda bir küpün yüzey alanı verilmiş ve bizden bu küpün bir köşesinden çıkan üç ayrıtın uzunluklarının geometrik ortalamasını bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim ve bu problemi kolayca çözelim.
Bir küpün 6 tane eş yüzeyi vardır ve her yüzey bir karedir. Eğer küpün bir ayrıtının uzunluğuna $a$ dersek, bir yüzeyin alanı $a^2$ olur. Küpün toplam yüzey alanı ise 6 yüzeyin alanının toplamıdır, yani $6a^2$ formülüyle bulunur.
Soruda küpün yüzey alanı 216 cm² olarak verilmiş. Bu bilgiyi formülümüzde yerine yazalım:
$6a^2 = 216$ cm²
Şimdi $a^2$ değerini bulmak için her iki tarafı 6'ya bölelim:
$a^2 = \frac{216}{6}$
$a^2 = 36$
$a$ değerini bulmak için 36'nın karekökünü alalım:
$a = \sqrt{36}$
$a = 6$ cm
Demek ki küpümüzün bir ayrıtının uzunluğu 6 cm'dir.
Bir küpte tüm ayrıtların (kenarların) uzunlukları birbirine eşittir. Bir köşeden çıkan üç ayrıt da birbirine diktir ve uzunlukları aynıdır. Bizim küpümüzün bir ayrıtının uzunluğunu 6 cm olarak bulduğumuza göre, bir köşeden çıkan üç ayrıtın her birinin uzunluğu da 6 cm olacaktır.
Yani, bu üç ayrıtın uzunlukları 6 cm, 6 cm ve 6 cm'dir.
Üç sayının ($x_1, x_2, x_3$) geometrik ortalaması, bu sayıların çarpımının küpkökü alınarak bulunur. Formülü şöyledir:
Geometrik Ortalama $= \sqrt[3]{x_1 \cdot x_2 \cdot x_3}$
Bizim sayılarımız 6, 6 ve 6 olduğuna göre, formülü uygulayalım:
Geometrik Ortalama $= \sqrt[3]{6 \cdot 6 \cdot 6}$
Geometrik Ortalama $= \sqrt[3]{6^3}$
Küpkök ve küp birbirini götürür:
Geometrik Ortalama $= 6$ cm
Böylece, küpün bir köşesinden çıkan üç ayrıtın uzunluklarının geometrik ortalamasını 6 cm olarak bulmuş olduk.
Cevap C seçeneğidir.
