Reel sayılarda A = {x | x² - 4 ≤ 0} ve B = {x | x > 1} kümeleri tanımlanıyor. A\B kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) [-2, 1]Verilen kümeler $A = \{x | x^2 - 4 \leq 0\}$ ve $B = \{x | x > 1\}$'dir. Bizden $A \setminus B$ kümesini bulmamız isteniyor. $A \setminus B$ kümesi, A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanları ifade eder.
A kümesinin tanımı $x^2 - 4 \leq 0$ eşitsizliğine dayanmaktadır.
Öncelikle $x^2 - 4 = 0$ denkleminin köklerini bulalım. Bu ifadeyi çarpanlarına ayırırsak $(x-2)(x+2) = 0$ olur. Buradan kökler $x_1 = -2$ ve $x_2 = 2$ olarak bulunur.
Şimdi $x^2 - 4 \leq 0$ eşitsizliğini inceleyelim. Bu bir parabol denklemi olup kolları yukarı doğrudur. Eşitsizliğin sıfırdan küçük veya eşit olduğu aralık, kökler arasında kalan bölgedir. Kökler de dahil olduğu için kapalı aralık kullanılır.
Dolayısıyla, A kümesi $[-2, 2]$ kapalı aralığıdır. Yani $A = [-2, 2]$.
B kümesinin tanımı $x > 1$ eşitsizliğine dayanmaktadır.
Bu eşitsizlik, $x$'in $1$'den büyük tüm reel sayıları içerdiğini gösterir. $1$ dahil değildir, bu yüzden açık aralık kullanılır.
Dolayısıyla, B kümesi $(1, \infty)$ açık aralığıdır. Yani $B = (1, \infty)$.
$A \setminus B$ kümesi, A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanları ifade eder. Yani, $x \in A$ ve $x \notin B$ koşullarını sağlayan $x$ değerlerini arıyoruz.
A kümesi için koşul: $x \in [-2, 2]$ yani $-2 \leq x \leq 2$.
B kümesi için koşul: $x \in (1, \infty)$ yani $x > 1$.
Bir elemanın B kümesinde olmaması ($x \notin B$) demek, $x$'in $1$'den büyük olmaması demektir. Yani $x \leq 1$ olmalıdır.
Şimdi hem A kümesinde olma ($x \in A$) hem de B kümesinde olmama ($x \notin B$) koşullarını aynı anda sağlayan $x$ değerlerini bulalım:
Koşul 1: $-2 \leq x \leq 2$
Koşul 2: $x \leq 1$
Bu iki koşulu birleştirdiğimizde, $x$ hem $-2$ ile $2$ arasında (dahil) olmalı hem de $1$'den küçük veya eşit olmalıdır. Bu durumda, $x$ için geçerli aralık $[-2, 1]$ olur. Yani $-2 \leq x \leq 1$.
Dolayısıyla, $A \setminus B = [-2, 1]$'dir.
Bulduğumuz $A \setminus B = [-2, 1]$ kümesi, seçeneklerdeki A seçeneği ile aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
