Işından Doğruya Etkinliği Test 1

A(3,1) noktasından başlayıp B(7,5) noktasından geçen ışın üzerinde aşağıdaki noktalardan hangisi bulunmaz?

A) C(11,9)
B) D(-1,-3)
C) E(15,13)
D) F(8,6)

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir ışın üzerinde hangi noktanın bulunmadığını bulacağız. Bir ışın, belirli bir noktadan başlar ve belirli bir yönde sonsuza kadar uzanır. Bu bilgiyi kullanarak adım adım ilerleyelim.

• Adım 1: Işının Başlangıç Noktası ve Yön Vektörünü Belirleyelim.
  • Işın $A(3,1)$ noktasından başlıyor. Bu bizim başlangıç noktamızdır.
  • Işın $B(7,5)$ noktasından geçiyor. Bu bilgi, ışının hangi yöne doğru uzandığını bulmamızı sağlar. Yön vektörünü $\vec{AB}$ olarak tanımlayabiliriz.
  • $\vec{AB} = (B_x - A_x, B_y - A_y)$ formülüyle yön vektörünü hesaplayalım.
  • $\vec{AB} = (7 - 3, 5 - 1) = (4, 4)$.
  • Bu, ışının her bir birim ilerlemesinde x koordinatının 4, y koordinatının da 4 arttığı anlamına gelir.
• Adım 2: Işının Parametrik Denklemini Yazalım.
  • Bir ışın üzerindeki herhangi bir $P(x,y)$ noktası, başlangıç noktası $A$ ve yön vektörü $\vec{AB}$ kullanılarak parametrik olarak ifade edilebilir.
  • $P(x,y) = A(3,1) + t \cdot \vec{AB}(4,4)$
  • Burada $t$ bir parametredir. Işın $A$ noktasından başladığı için, $t$ değeri sıfır veya sıfırdan büyük olmalıdır ($t \ge 0$). Eğer $t$ negatif olursa, nokta $A$ noktasının gerisinde kalır ve ışın üzerinde değil, ışının uzantısı olan doğru üzerinde olur.
  • Denklemi bileşenler halinde yazarsak:
    • $x = 3 + 4t$
    • $y = 1 + 4t$
• Adım 3: Seçeneklerdeki Noktaları Kontrol Edelim.
  • Şimdi her bir seçenekteki noktanın koordinatlarını ışının parametrik denklemine yerleştirip $t$ değerini bulacağız. Eğer $t$ değeri her iki denklem için de aynı çıkarsa ve $t \ge 0$ koşulunu sağlıyorsa, o nokta ışın üzerindedir.
  • A) $C(11,9)$ noktası için:
    • $11 = 3 + 4t \implies 8 = 4t \implies t = 2$
    • $9 = 1 + 4t \implies 8 = 4t \implies t = 2$
    • $t=2$ değeri $t \ge 0$ koşulunu sağlar. Bu nokta ışın üzerindedir.
  • B) $D(-1,-3)$ noktası için:
    • $-1 = 3 + 4t \implies -4 = 4t \implies t = -1$
    • $-3 = 1 + 4t \implies -4 = 4t \implies t = -1$
    • $t=-1$ değeri $t \ge 0$ koşulunu sağlamaz ($t < 0$). Bu nokta ışın üzerinde değildir. Bu nokta, $A$ noktasının gerisinde kalır.
  • C) $E(15,13)$ noktası için:
    • $15 = 3 + 4t \implies 12 = 4t \implies t = 3$
    • $13 = 1 + 4t \implies 12 = 4t \implies t = 3$
    • $t=3$ değeri $t \ge 0$ koşulunu sağlar. Bu nokta ışın üzerindedir.
  • D) $F(8,6)$ noktası için:
    • $8 = 3 + 4t \implies 5 = 4t \implies t = \frac{5}{4}$
    • $6 = 1 + 4t \implies 5 = 4t \implies t = \frac{5}{4}$
    • $t=\frac{5}{4}$ değeri $t \ge 0$ koşulunu sağlar. Bu nokta ışın üzerindedir.
• Adım 4: Sonucu Belirleyelim.
  • Yaptığımız kontroller sonucunda, sadece $D(-1,-3)$ noktası için bulduğumuz $t$ değeri negatif çıktı. Bu da $D$ noktasının $A$ noktasından başlayan ışın üzerinde bulunmadığı anlamına gelir.

Cevap B seçeneğidir.