İki terimin toplamının küpü (a+b)³

Question

Bu formülü açarken terimleri tek tek yazmakta zorlanıyorum. Küpü dağıtırken hangi katsayıları kullanacağımı ve işaretleri nasıl belirleyeceğimi karıştırıyorum. Özellikle formülün tam olarak nasıl genişletildiğini anlamakta güçlük çekiyorum.

Answer 1

📐 İki Terimin Toplamının Küpü: (a+b)³

Matematikte, iki terimin toplamının küpünü hesaplamak için kullanılan önemli bir özdeşlik vardır. Bu özdeşlik, (a+b)³ ifadesini açmak için kullanılır ve hem cebirsel işlemlerde hem de çarpanlara ayırmada oldukça faydalıdır.

🎯 Formülün Açılımı

İki terimin toplamının küpü aşağıdaki gibi açılır:

\( (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \)

🧠 Formülün Mantığı

Bu formülü anlamak için, (a+b)³ ifadesini (a+b) . (a+b) . (a+b) olarak yazabiliriz. Önce ilk iki parantezi çarparız:

\( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)

Daha sonra bu sonucu tekrar (a+b) ile çarparız:

\( (a^2 + 2ab + b^2) . (a + b) \)

Bu çarpma işlemini dağılma özelliği ile yaptığımızda:

• ➡️ \( a^2 . a = a^3 \)
• ➡️ \( a^2 . b = a^2b \)
• ➡️ \( 2ab . a = 2a^2b \)
• ➡️ \( 2ab . b = 2ab^2 \)
• ➡️ \( b^2 . a = ab^2 \)
• ➡️ \( b^2 . b = b^3 \)

Benzer terimleri topladığımızda:

\( a^3 + (a^2b + 2a^2b) + (2ab^2 + ab^2) + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \)

Formülümüzü elde ederiz.

💡 Örnek Problem

(x + 2)³ ifadesini açalım.

Burada a = x ve b = 2'dir. Formülü uygulayalım:

• ✅ \( a^3 = x^3 \)
• ✅ \( 3a^2b = 3 . (x)^2 . (2) = 6x^2 \)
• ✅ \( 3ab^2 = 3 . (x) . (2)^2 = 3 . x . 4 = 12x \)
• ✅ \( b^3 = (2)^3 = 8 \)

Sonuç olarak:

\( (x + 2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 \)

📌 Hatırlatma

Bu formülü ezberlemek yerine, nasıl türetildiğini anlamak çok daha önemlidir. Ayrıca, iki terimin farkının küpü için de benzer bir formül olduğunu unutmayın:

\( (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \)

🎓 Pratik Yapalım

Aşağıdaki ifadeleri açarak pratik yapabilirsiniz:

• 🧩 \( (2y + 1)^3 \)
• 🧩 \( (m + 3n)^3 \)