10. Sınıf Üçgende Alan Test 3

Bir üçgenin iki kenarı 10 cm ve 14 cm olup bu kenarlar arasındaki açı 120°'dir. Bu üçgenin alanı kaç cm²'dir?

A) \(35\sqrt{3}\)
B) \(70\)
C) \(70\sqrt{3}\)
D) \(140\)

Bu problemde, bir üçgenin iki kenarının uzunlukları ve bu iki kenar arasındaki açı verilmiştir. Üçgenin alanını bulmak için belirli bir formülü kullanacağız. Haydi adım adım ilerleyelim:

• Verilen Bilgileri Belirleyelim:
  • Üçgenin bir kenarı (diyelim ki $a$) $10$ cm'dir.
  • Üçgenin diğer kenarı (diyelim ki $b$) $14$ cm'dir.
  • Bu iki kenar arasındaki açı (diyelim ki $C$) $120^\circ$'dir.
• Doğru Formülü Seçelim:

  İki kenarı ve bu kenarlar arasındaki açısı bilinen bir üçgenin alanını bulmak için aşağıdaki formülü kullanırız:

  Alan $= \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(C)$

  Burada $a$ ve $b$ kenar uzunlukları, $C$ ise bu kenarlar arasındaki açıdır.

• Açı Değerini Hesaplayalım:

  Formülde $\sin(C)$ ifadesi bulunmaktadır. Açımız $120^\circ$ olduğu için $\sin(120^\circ)$ değerini bulmamız gerekiyor.

  Trigonometrik özdeşliklerden biliyoruz ki $\sin(180^\circ - \theta) = \sin(\theta)$.

  Bu durumda, $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ)$ olur.

  $\sin(60^\circ)$ değeri ise $\frac{\sqrt{3}}{2}$'dir.

  Yani, $\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

• Değerleri Formülde Yerine Koyalım ve Hesaplayalım:

  Şimdi elimizdeki tüm değerleri alan formülüne yerleştirelim:

  Alan $= \frac{1}{2} \times 10 \times 14 \times \sin(120^\circ)$

  Alan $= \frac{1}{2} \times 10 \times 14 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

  Önce çarpma işlemlerini yapalım:

  Alan $= (5 \times 14) \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

  Alan $= 70 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

  Son olarak bölme işlemini yapalım:

  Alan $= \frac{70\sqrt{3}}{2}$

  Alan $= 35\sqrt{3}$ cm$^2$

Bu sonuç, seçeneklerdeki A seçeneği ile eşleşmektedir.

Cevap A seçeneğidir.