10. Sınıf Karekök Fonksiyonu Grafiği ve Özellikleri Test 1

f(x) = √(x-2) + 3 fonksiyonu ile ilgili olarak aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) Tanım kümesi [2, ∞)'dur
B) Görüntü kümesi [3, ∞)'dur
C) Grafiği, temel karekök fonksiyonunun 2 birim sağa ve 3 birim yukarı ötelenmesiyle elde edilir
D) x = 0 noktasında fonksiyon değeri 3'tür

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir karekök fonksiyonunun özelliklerini inceleyeceğiz. Fonksiyonumuz $f(x) = \sqrt{x-2} + 3$. Şimdi her bir seçeneği adım adım değerlendirelim:

• A) Tanım kümesi $[2, \infty)$'dur

  Bir karekök fonksiyonunda, kökün içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir. Yani, $\sqrt{A}$ ifadesinin tanımlı olabilmesi için $A \ge 0$ olmalıdır. Bizim fonksiyonumuzda kök içinde $x-2$ ifadesi bulunmaktadır. Bu durumda:

  • $x-2 \ge 0$ olmalıdır.
  • Bu eşitsizliği çözersek, $x \ge 2$ elde ederiz.

  Dolayısıyla, fonksiyonun tanım kümesi $x$ değerlerinin 2'ye eşit veya 2'den büyük olduğu tüm reel sayılardır, yani $[2, \infty)$. Bu ifade doğrudur.

• B) Görüntü kümesi $[3, \infty)$'dur

  Tanım kümesindeki her $x$ değeri için $\sqrt{x-2}$ ifadesinin alabileceği en küçük değer 0'dır (bu değer $x=2$ iken elde edilir: $\sqrt{2-2} = \sqrt{0} = 0$). Karekökün sonucu hiçbir zaman negatif olamaz.

  • $\sqrt{x-2} \ge 0$ olduğunu biliyoruz.
  • Fonksiyonumuz $f(x) = \sqrt{x-2} + 3$ olduğuna göre, her iki tarafa 3 eklersek:
  • $\sqrt{x-2} + 3 \ge 0 + 3$
  • $f(x) \ge 3$ olur.

  Yani, fonksiyonun alabileceği en küçük değer 3'tür ve $x$ arttıkça $\sqrt{x-2}$ de artacağından, $f(x)$ sonsuza kadar artar. Bu durumda görüntü kümesi $[3, \infty)$'dur. Bu ifade doğrudur.

• C) Grafiği, temel karekök fonksiyonunun 2 birim sağa ve 3 birim yukarı ötelenmesiyle elde edilir

  Temel karekök fonksiyonu $g(x) = \sqrt{x}$'tir. Bir fonksiyonun grafiği üzerinde yapılan öteleme işlemleri şöyledir:

  • $g(x-a)$ ifadesi, $g(x)$ fonksiyonunun grafiğini $a$ birim sağa öteler (eğer $a>0$ ise).
  • $g(x)+b$ ifadesi, $g(x)$ fonksiyonunun grafiğini $b$ birim yukarı öteler (eğer $b>0$ ise).

  Bizim fonksiyonumuz $f(x) = \sqrt{x-2} + 3$ şeklindedir. Burada $a=2$ ve $b=3$ olarak görülebilir. Bu da temel karekök fonksiyonunun grafiğinin 2 birim sağa ve 3 birim yukarı ötelenmesi anlamına gelir. Bu ifade doğrudur.

• D) $x = 0$ noktasında fonksiyon değeri 3'tür

  Bu ifadeyi kontrol etmek için $x=0$ değerini fonksiyonda yerine yazmalıyız:

  • $f(0) = \sqrt{0-2} + 3$
  • $f(0) = \sqrt{-2} + 3$

  Ancak, reel sayılar kümesinde negatif bir sayının karekökü tanımlı değildir. Yani $\sqrt{-2}$ bir reel sayı değildir. Daha önce A seçeneğinde de belirttiğimiz gibi, fonksiyonun tanım kümesi $[2, \infty)$'dur. $x=0$ değeri bu tanım kümesinin dışında kalmaktadır. Dolayısıyla, $x=0$ noktasında fonksiyonun reel bir değeri yoktur ve bu ifade yanlıştır.

Yukarıdaki analizler sonucunda, D seçeneğindeki ifadenin yanlış olduğunu görmekteyiz.

Cevap D seçeneğidir.