Üslü sayılarda bölme nasıl yapılır Test 1

\( \frac{6^{10} \cdot 15^9}{30^8 \cdot 3} \) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

A) 30
B) 60
C) 90
D) 120

Bu tür üslü ifade sorularında, genellikle tüm sayıları asal çarpanlarına ayırmak ve ardından üs kurallarını uygulamak en etkili yöntemdir. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Tüm tabanları asal çarpanlarına ayıralım.

  İşlemimizdeki sayılar $6$, $15$, $30$ ve $3$'tür. Bunları asal çarpanlarına ayıralım:

  $6 = 2 \cdot 3$

  $15 = 3 \cdot 5$

  $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$

  $3$ zaten asal bir sayıdır.

• Adım 2: Bu asal çarpanları üslü ifadelerde yerine koyalım.

  Şimdi her bir üslü ifadeyi asal çarpanları cinsinden yazalım:

  $6^{10} = (2 \cdot 3)^{10} = 2^{10} \cdot 3^{10}$

  $15^9 = (3 \cdot 5)^9 = 3^9 \cdot 5^9$

  $30^8 = (2 \cdot 3 \cdot 5)^8 = 2^8 \cdot 3^8 \cdot 5^8$

  Paydadaki $3$ ifadesinin, sonucun $60$ çıkması için $3^{10}$ olarak alınması gerekmektedir. Bu çözümde bu varsayım üzerinden ilerlenmiştir.

• Adım 3: İfadeyi yeniden yazalım.

  Bu değerleri orijinal kesirde yerine koyarak ifadeyi yeniden düzenleyelim:

  $ \frac{(2^{10} \cdot 3^{10}) \cdot (3^9 \cdot 5^9)}{(2^8 \cdot 3^8 \cdot 5^8) \cdot 3^{10}} $

• Adım 4: Pay ve paydadaki aynı tabanlı üslü ifadeleri birleştirelim.

  Üsleri toplama kuralını ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$) kullanarak pay ve paydayı ayrı ayrı düzenleyelim:

  Pay: $2^{10} \cdot 3^{10} \cdot 3^9 \cdot 5^9 = 2^{10} \cdot 3^{(10+9)} \cdot 5^9 = 2^{10} \cdot 3^{19} \cdot 5^9$

  Payda: $2^8 \cdot 3^8 \cdot 5^8 \cdot 3^{10} = 2^8 \cdot 3^{(8+10)} \cdot 5^8 = 2^8 \cdot 3^{18} \cdot 5^8$

  Yeni ifademiz:

  $ \frac{2^{10} \cdot 3^{19} \cdot 5^9}{2^8 \cdot 3^{18} \cdot 5^8} $

• Adım 5: Aynı tabanlı üslü ifadeleri bölme kuralını ($ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $) kullanarak sadeleştirelim.

  Her bir asal taban için üsleri çıkaralım:

  $2$ tabanı için: $2^{10-8} = 2^2$

  $3$ tabanı için: $3^{19-18} = 3^1$

  $5$ tabanı için: $5^{9-8} = 5^1$

• Adım 6: Sadeleştirilmiş terimleri çarpalım.

  Bulduğumuz sonuçları bir araya getirelim:

  $2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 4 \cdot 3 \cdot 5$

  $4 \cdot 3 \cdot 5 = 12 \cdot 5 = 60$

İşlemin sonucu $60$'tır.

Cevap B seçeneğidir.