Bir restoranın 50 günlük gelir verileri analiz ediliyor. Gelirlerin aritmetik ortalaması 2.500 TL, medyanı 2.200 TL, modu ise 2.000 TL'dir. Standart sapma 400 TL olarak hesaplanıyor.
Bu bilgilere göre aşağıdaki yorumlardan hangisi doğrudur?
A) Dağılım sola çarpıktır
B) Gelirlerin %68'i 2.100 TL ile 2.900 TL arasındadır
C) Ortalama değer medyandan küçüktür
D) Dağılım simetriktir
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir restoranın gelir verileri üzerinden istatistiksel ölçümleri yorumlamamız isteniyor. Verilen bilgileri ve seçenekleri adım adım inceleyerek doğru cevabı bulalım.
- Verilen Bilgiler:
- Aritmetik Ortalama ($\bar{x}$): 2.500 TL
- Medyan (Ortanca): 2.200 TL
- Mod (Tepe Değer): 2.000 TL
- Standart Sapma ($\sigma$): 400 TL
- Seçenekleri Değerlendirelim:
- A) Dağılım sola çarpıktır
- Bir dağılımın çarpıklığını (skewness) belirlemek için ortalama, medyan ve mod arasındaki ilişkiye bakarız.
- Genel kural şöyledir:
- Eğer Ortalama > Medyan > Mod ise, dağılım sağa çarpıktır (pozitif çarpık).
- Eğer Mod > Medyan > Ortalama ise, dağılım sola çarpıktır (negatif çarpık).
- Eğer Ortalama = Medyan = Mod ise, dağılım simetriktir.
- Verilerimize baktığımızda: $2.500 \text{ (Ortalama)} > 2.200 \text{ (Medyan)} > 2.000 \text{ (Mod)}$ olduğunu görüyoruz.
- Bu durumda dağılım sağa çarpıktır. Dolayısıyla A seçeneği yanlıştır.
- B) Gelirlerin %68'i 2.100 TL ile 2.900 TL arasındadır
- Bu ifade, normal dağılımın "Empirik Kuralı" veya "68-95-99.7 Kuralı" ile ilgilidir. Bu kurala göre, normal dağılımlarda verilerin yaklaşık %68'i, ortalamanın $\pm 1$ standart sapma aralığında yer alır.
- Hesaplayalım:
- Ortalama: $2.500$ TL
- Standart Sapma: $400$ TL
- Aralık: Ortalama $\pm 1 \times$ Standart Sapma
- Aralık: $2.500 \pm 1 \times 400$
- Aralık: $2.500 - 400$ ile $2.500 + 400$
- Aralık: $2.100$ TL ile $2.900$ TL
- Bu hesaplama, seçenekte verilen aralıkla birebir örtüşmektedir. Dağılım tam olarak simetrik olmasa da (çünkü sağa çarpık bulduk), bu tür sorularda genellikle bu kuralın uygulanabilirliği test edilir ve diğer seçeneklerin kesin yanlışlığı durumunda bu seçenek doğru kabul edilir.
- C) Ortalama değer medyandan küçüktür
- Ortalama: $2.500$ TL
- Medyan: $2.200$ TL
- $2.500$ TL, $2.200$ TL'den büyük olduğu için ortalama değer medyandan küçüktür ifadesi yanlıştır.
- D) Dağılım simetriktir
- Simetrik bir dağılımda ortalama, medyan ve mod değerleri birbirine eşit olmalıdır ($Ortalama = Medyan = Mod$).
- Bizim verilerimizde $2.500 \neq 2.200 \neq 2.000$ olduğu için dağılım simetrik değildir. Zaten A seçeneğinde dağılımın sağa çarpık olduğunu belirlemiştik.
- Dolayısıyla D seçeneği yanlıştır.
- Sonuç:
- A, C ve D seçenekleri kesinlikle yanlıştır.
- B seçeneği, normal dağılımın temel özelliklerinden biri olan Empirik Kural'a göre yapılan hesaplamayla eşleşmektedir. Dağılımın tam olarak normal olmaması (sağa çarpık olması) bu kuralın tam %68 olmasını engellese de, verilen seçenekler arasında matematiksel olarak doğru olan tek yorum budur.
Cevap B seçeneğidir.
