9. Sınıf Mutlak Değer Fonksiyonu ve Nitel Özellikleri Nedir? Test 1

f(x) = |x-3| + |x+2| fonksiyonunun en küçük değeri kaçtır?

A) 0
B) 3
C) 5
D) 7

Sevgili öğrenciler, bu soruda mutlak değer fonksiyonlarının toplamının en küçük değerini bulmamız isteniyor. Bu tür soruları çözmek için birkaç farklı yöntem kullanabiliriz, ancak en sezgisel ve hızlı yöntemlerden biri mutlak değerin geometrik yorumunu kullanmaktır.

• Mutlak Değerin Anlamı: Bir sayının mutlak değeri, o sayının sayı doğrusu üzerindeki başlangıç noktasına (sıfıra) olan uzaklığını ifade eder. Örneğin, $|a|$ demek, $a$ sayısının $0$'a olan uzaklığı demektir. Daha genel olarak, $|a-b|$ ifadesi, $a$ ve $b$ sayılarının sayı doğrusu üzerindeki uzaklığını temsil eder.
• Fonksiyonumuzu Yorumlayalım:

  $|x-3|$ ifadesi, $x$ sayısının $3$ sayısına olan uzaklığını gösterir.

  $|x+2|$ ifadesini $|x-(-2)|$ olarak yazabiliriz. Bu da $x$ sayısının $-2$ sayısına olan uzaklığını gösterir.

  Buna göre, $f(x) = |x-3| + |x+2|$ fonksiyonu, sayı doğrusu üzerindeki bir $x$ noktasının, $3$ noktasına olan uzaklığı ile $-2$ noktasına olan uzaklığının toplamını ifade eder.

• En Küçük Değeri Bulma: İki sabit nokta (bu durumda $-2$ ve $3$) arasındaki uzaklıkların toplamının en küçük olması için, $x$ noktasının bu iki sabit noktanın arasında (veya bu noktalardan biri üzerinde) olması gerekir. Yani, $x$ sayısı $-2$ ile $3$ arasında herhangi bir değer aldığında, $x$'in $3$'e olan uzaklığı ile $x$'in $-2$'ye olan uzaklığının toplamı, tam olarak $-2$ ile $3$ arasındaki uzaklığa eşit olacaktır.
• Uzaklığı Hesaplayalım: $-2$ ile $3$ arasındaki uzaklık, $|3 - (-2)|$ olarak hesaplanır.

  $|3 - (-2)| = |3 + 2| = |5| = 5$.

  Bu demektir ki, $x$ değeri $-2 \le x \le 3$ aralığında olduğu sürece, $f(x)$ fonksiyonunun değeri sabit ve $5$'e eşittir. Bu aralığın dışındaki herhangi bir $x$ değeri için, uzaklıkların toplamı $5$'ten daha büyük olacaktır.

• Sonuç: Fonksiyonun alabileceği en küçük değer $5$'tir.

Cevap C seçeneğidir.