Polinom tanımı ve özellikleri

Question

Polinomun tanımını genel olarak anlıyorum ama neden sabit sayılar da polinom sayılıyor tam olarak kafam basmadı. Ayrıca polinomlarda derece ve katsayı kavramlarını birbirine karıştırıyorum, bu konuda kafam biraz karışık.

Answer 1

Polinomun Tanımı

Polinom, belirli kurallara göre düzenlenmiş bir cebirsel ifadedir. Bir polinomu oluşturan her bir terime polinomun terimleri denir.

Genel olarak, bir bilinmeyenli (x) bir polinom şu şekilde yazılabilir:

\( P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 \)

Buradaki;

• \( a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0 \): Polinomun katsayılarıdır (Gerçek sayı olmalıdır).
• \( x \): Polinomun değişkeni veya bilinmeyenidir.
• \( n \): Bir doğal sayı (0, 1, 2, 3, ...) olan polinomun derecesidir.
• Her terimdeki x'in üssü bir doğal sayı olmalıdır. Kesirli veya negatif üsler polinom tanımına girmez.
• \( a_0 \): Polinomun sabit terimidir.

Polinom Olma Şartları

• Değişkenin üsleri doğal sayı olmalıdır. Örneğin, \( P(x) = x^2 + 3x + 1 \) bir polinomken, \( Q(x) = \sqrt{x} + 5 \) veya \( R(x) = \frac{1}{x} + 2 \) birer polinom değildir.
• Katsayılar gerçek sayı olmalıdır.

Polinomların Özellikleri

1. Polinomun Derecesi: der[P(x)]

Polinomun en büyük dereceli teriminin üssüdür. Örneğin, \( P(x) = 4x^5 - 2x^3 + x - 7 \) polinomunun derecesi 5'tir.

2. Sabit Polinom

Derecesi 0 olan polinomdur. Sıfırdan farklı bir gerçek sayıya eşittir. Örneğin, \( P(x) = 5 \).

3. Sıfır Polinomu

Tüm katsayıları 0 olan polinomdur. \( P(x) = 0 \). Sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır.

4. Katsayılar Toplamı

Bir polinomun katsayılar toplamını bulmak için değişken yerine 1 yazılır.

\( P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 \) polinomu için katsayılar toplamı: \( P(1) = a_n + a_{n-1} + ... + a_1 + a_0 \)

5. Sabit Terim

Bir polinomun sabit terimini bulmak için değişken yerine 0 yazılır.

\( P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 \) polinomu için sabit terim: \( P(0) = a_0 \)

6. Polinomlarda Eşitlik

İki polinomun eşit olabilmesi için;

• Aynı dereceli terimlerin katsayıları eşit olmalıdır.
• Dereceleri eşit olmalıdır.

Yani, \( P(x) = Q(x) \) ise tüm n için \( a_n = b_n \) olmalıdır.

7. Polinomlarda İşlemler

Toplama/Çıkarma: Aynı dereceli terimlerin katsayıları toplanır veya çıkarılır.

Çarpma: Bir polinomun her terimi diğer polinomun her terimi ile ayrı ayrı çarpılır. Sonuç polinomunun derecesi, çarpılan polinomların dereceleri toplamına eşittir.

Bölme: Polinom bölmesi, sayılarda olduğu gibi yapılır. Bölümün derecesi, bölünenin derecesinden bölenin derecesi çıkarılarak bulunur.

Örnek

\( P(x) = 2x^3 - x + 4 \) polinomu için:

• Derecesi: 3
• Katsayılar toplamı: \( P(1) = 2(1)^3 - 1 + 4 = 5 \)
• Sabit terim: \( P(0) = 2(0)^3 - 0 + 4 = 4 \)

Answer 2

Polinom Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir polinom belirtir?
a) \( \frac{2x^2 - 1}{x} \)
b) \( \sqrt{x} + 3x - 1 \)
c) \( x^3 - 2x^2 + x - 5 \)
d) \( 2^x + x^2 \)
e) \( |x| + 3 \)
Cevap: c) \( x^3 - 2x^2 + x - 5 \)
Çözüm: Bir ifadenin polinom olabilmesi için değişkenin üslerinin doğal sayı, katsayıların reel sayı olması ve değişkenin kök, mutlak değer, bölüm gibi işlemlere girmemesi gerekir. Seçeneklerden sadece c şıkkı bu koşulları sağlar.

Soru 2: \( P(x) = (a-2)x^4 + (b+1)x^3 + (c-3)x^2 + 5 \) polinomu sabit polinom olduğuna göre, \( a + b + c \) toplamı kaçtır?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Cevap: d) 4
Çözüm: Sabit polinom olması için x'li terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır. Bu durumda: a-2=0 → a=2, b+1=0 → b=-1, c-3=0 → c=3 olur. Toplam: 2 + (-1) + 3 = 4

Soru 3: \( P(x) = 3x^3 - 2x^2 + x - 1 \) polinomu veriliyor. Buna göre \( P(2) \) değeri kaçtır?
a) 15
b) 17
c) 19
d) 21
e) 23
Cevap: b) 17
Çözüm: Polinomda x yerine 2 yazalım: \( P(2) = 3(2)^3 - 2(2)^2 + 2 - 1 = 3(8) - 2(4) + 2 - 1 = 24 - 8 + 2 - 1 = 17 \)