Bir bahçede 48 gül, 72 lale ve 96 papatya vardır. Çiçekler eşit sayıda demet yapılmak isteniyor. Her demette aynı sayıda gül, aynı sayıda lale ve aynı sayıda papatya olacaktır. En fazla kaç demet oluşturulabilir?
A) 12Bu problemde, farklı türdeki çiçekleri eşit sayıda demetlere ayırmak istiyoruz. Her demette aynı sayıda gül, lale ve papatya olması gerekiyor. Amacımız, oluşturabileceğimiz en fazla demet sayısını bulmaktır.
Bu tür problemlerde, verilen sayıları (çiçek sayıları) tam bölen ve bu bölenlerin en büyüğü olan sayıyı bulmamız gerekir. Yani, En Büyük Ortak Bölen (EBOB) veya İngilizce adıyla Greatest Common Divisor (GCD) bulacağız. EBOB, tüm sayıları aynı anda bölebilen en büyük sayıdır.
Elimizdeki çiçek sayıları şunlardır:
Gül: $48$ adet
Lale: $72$ adet
Papatya: $96$ adet
EBOB'u bulmak için en etkili yöntemlerden biri, sayıları asal çarpanlarına ayırmaktır. Her bir sayıyı asal çarpanlarına ayıralım:
$48 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^4 \times 3^1$
$72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^2$
$96 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^5 \times 3^1$
Şimdi, tüm sayılarda ortak olan asal çarpanları ve bu çarpanların en küçük üslerini bulalım:
Ortak asal çarpanlar $2$ ve $3$'tür.
Asal çarpan $2$ için en küçük üs: $2^3$ (çünkü $2^4$, $2^3$, $2^5$ arasında en küçüğü $2^3$'tür).
Asal çarpan $3$ için en küçük üs: $3^1$ (çünkü $3^1$, $3^2$, $3^1$ arasında en küçüğü $3^1$'dir).
EBOB, ortak asal çarpanların en küçük üslü hallerinin çarpımıdır:
EBOB$(48, 72, 96) = 2^3 \times 3^1 = 8 \times 3 = 24$
Bulduğumuz EBOB değeri, oluşturulabilecek en fazla demet sayısını gösterir. Yani, $24$ demet oluşturabiliriz.
Her demette kaç çiçek olacağını da kontrol edebiliriz:
Gül: $48 \div 24 = 2$ gül
Lale: $72 \div 24 = 3$ lale
Papatya: $96 \div 24 = 4$ papatya
Gördüğümüz gibi, her demette $2$ gül, $3$ lale ve $4$ papatya olacak şekilde $24$ demet oluşturabiliriz.
Cevap C seçeneğidir.
