9. Sınıf Bir Üçgenden Hareketle Ona Benzer Üçgenler Oluşturma Nedir? Test 1

İki benzer üçgenin çevreleri oranı \( \frac{3}{5} \)'tir. Küçük üçgenin alanı 54 cm² olduğuna göre, büyük üçgenin alanı kaç cm²'dir?

A) 90
B) 120
C) 150
D) 180

Merhaba sevgili öğrencilerim!

Bugün benzer üçgenlerin çevreleri ve alanları arasındaki ilişkiyi kullanarak güzel bir problem çözeceğiz. Bu tür sorular, benzerlik konusunun temelini anlamak için çok önemlidir. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Benzerlik Oranını Belirleyelim:

İki benzer üçgenin çevreleri oranı, aynı zamanda onların benzerlik oranıdır (genellikle $k$ ile gösterilir). Soruda bize küçük üçgenin çevresinin büyük üçgenin çevresine oranının $ \frac{3}{5} $ olduğu verilmiş.

Yani, benzerlik oranı $ k = \frac{\text{Küçük üçgenin çevresi}}{\text{Büyük üçgenin çevresi}} = \frac{3}{5} $.

• 2. Alanlar Oranı ile Benzerlik Oranı Arasındaki İlişkiyi Hatırlayalım:

Benzer iki üçgenin alanları oranı, onların benzerlik oranının karesine eşittir. Bu çok önemli bir kuraldır!

Yani, $ \frac{\text{Küçük üçgenin alanı}}{\text{Büyük üçgenin alanı}} = k^2 $.

• 3. Alanlar Oranını Hesaplayalım:

Benzerlik oranımız $ k = \frac{3}{5} $ olduğuna göre, alanlar oranı $ k^2 $ şu şekilde bulunur:

$ k^2 = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{3^2}{5^2} = \frac{9}{25} $.

Bu durumda, $ \frac{\text{Küçük üçgenin alanı}}{\text{Büyük üçgenin alanı}} = \frac{9}{25} $.

• 4. Büyük Üçgenin Alanını Bulalım:

Soruda küçük üçgenin alanının $ 54 \text{ cm}^2 $ olduğu verilmiş. Büyük üçgenin alanına $ A_B $ diyelim.

Denklemimizi kuralım:

$ \frac{54}{A_B} = \frac{9}{25} $

Şimdi içler dışlar çarpımı yaparak $ A_B $ değerini bulalım:

$ 9 \cdot A_B = 54 \cdot 25 $

Her iki tarafı 9'a bölelim:

$ A_B = \frac{54 \cdot 25}{9} $

$ 54 $ sayısı $ 9 $'a tam bölünür ($ 54 \div 9 = 6 $):

$ A_B = 6 \cdot 25 $

$ A_B = 150 \text{ cm}^2 $.

Büyük üçgenin alanı $ 150 \text{ cm}^2 $ olarak bulunur.

Cevap C seçeneğidir.