İki vektörün skaler çarpımının sıfır olması için bu vektörler arasındaki açı kaç derece olmalıdır?
A) 0°İki vektörün skaler çarpımının sıfır olması durumunu adım adım inceleyelim. Bu kavram, vektörler arasındaki ilişkiyi anlamak için çok önemlidir.
İki vektörün, diyelim ki $\vec{A}$ ve $\vec{B}$'nin skaler çarpımı (nokta çarpımı), bu vektörlerin büyüklükleri ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımına eşittir. Matematiksel olarak şu şekilde ifade edilir:
$\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos\theta$
Burada $|\vec{A}|$ ve $|\vec{B}|$ vektörlerin büyüklüklerini, $\theta$ ise iki vektör arasındaki açıyı temsil eder.
Soru bize iki vektörün skaler çarpımının sıfır olduğunu söylüyor. Bu durumda yukarıdaki denklemi sıfıra eşitlemeliyiz:
$|\vec{A}| |\vec{B}| \cos\theta = 0$
Bir çarpımın sonucunun sıfır olması için, çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir. Bu durumda üç olası durum vardır:
1. $|\vec{A}| = 0$ (Birinci vektör sıfır vektördür.)
2. $|\vec{B}| = 0$ (İkinci vektör sıfır vektördür.)
3. $\cos\theta = 0$ (Vektörler arasındaki açının kosinüsü sıfırdır.)
Genellikle bu tür sorularda, vektörlerin sıfır vektör olmadığı varsayılır. Çünkü eğer vektörlerden biri sıfır vektör olsaydı, aralarındaki açı belirsiz olurdu veya çarpım her zaman sıfır çıkardı. Bu nedenle, genellikle ilginç olan durum $\cos\theta = 0$ durumudur.
Eğer $|\vec{A}| \neq 0$ ve $|\vec{B}| \neq 0$ ise, o zaman skaler çarpımın sıfır olması için tek olasılık $\cos\theta = 0$ olmasıdır.
Şimdi hangi açının kosinüsünün sıfır olduğunu düşünelim:
$\cos 0^\circ = 1$
$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos 90^\circ = 0$
$\cos 180^\circ = -1$
Bu değerlere baktığımızda, kosinüsü sıfır olan açının $90^\circ$ olduğunu görürüz.
İki vektörün skaler çarpımının sıfır olması için, bu vektörler arasındaki açının $90^\circ$ olması gerekir. Bu durum, vektörlerin birbirine dik (ortogonal veya dikey) olduğunu gösterir.
Cevap C seçeneğidir.
