Bir araç doğuya doğru 40 km yol aldıktan sonra kuzeye doğru 30 km yol alıyor. Aracın yer değiştirme vektörünün büyüklüğü kaç km'dir?
A) 10Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda bir aracın yaptığı hareketleri inceleyerek, başlangıç noktasından ne kadar uzaklaştığını, yani yer değiştirme vektörünün büyüklüğünü bulacağız. Fizikte yer değiştirme, bir cismin ilk konumu ile son konumu arasındaki en kısa mesafeyi ifade eder ve yönü olan bir büyüklüktür (vektörel büyüklük).
Araç önce doğuya doğru 40 km yol alıyor. Ardından, yön değiştirerek kuzeye doğru 30 km yol alıyor. Doğu ve kuzey yönleri birbirine diktir (90 derecelik açı yaparlar). Bu durum, aracın başlangıç noktası, doğuya gittiği nokta ve kuzeye gittiği son nokta arasında bir dik üçgen oluşturduğunu gösterir.
Hayal edin: Bir noktadan başlayıp sağa (doğuya) doğru gidiyorsunuz, sonra yukarıya (kuzeye) doğru dönüp devam ediyorsunuz. Başlangıç noktanız ile son noktanız arasındaki en kısa mesafe, bu dik üçgenin hipotenüsü olacaktır.
Dik üçgenlerde kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi bulmak için Pisagor Teoremi'ni kullanırız. Pisagor Teoremi, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu söyler.
Yer değiştirme vektörünün büyüklüğü ($D$), bu dik üçgenin hipotenüsüdür. Doğuya doğru alınan yol ($d_1 = 40$ km) ve kuzeye doğru alınan yol ($d_2 = 30$ km) ise dik kenarlardır.
Pisagor Teoremi'ne göre:
$D^2 = d_1^2 + d_2^2$
Şimdi verilen değerleri yerine koyalım:
$D^2 = (40 \text{ km})^2 + (30 \text{ km})^2$
Önce kareleri alalım:
$40^2 = 40 \times 40 = 1600$
$30^2 = 30 \times 30 = 900$
Şimdi bu değerleri toplayalım:
$D^2 = 1600 + 900$
$D^2 = 2500$
Son olarak, $D$'yi bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım:
$D = \sqrt{2500}$
$D = 50 \text{ km}$
Aracın başlangıç noktasından son noktasına olan en kısa mesafe, yani yer değiştirme vektörünün büyüklüğü 50 km'dir. Bu, aracın toplamda 70 km yol almasına rağmen (40 km + 30 km), başlangıç noktasına göre sadece 50 km uzakta olduğu anlamına gelir.
Cevap B seçeneğidir.
