Vektörlerin özellikleri nelerdir Test 1

Aynı düzlemde bulunan iki vektörün toplamının büyüklüğü, vektörlerin büyüklükleri toplamına eşit olabilmesi için vektörler arasındaki açı kaç derece olmalıdır?

A) 0°
B) 45°
C) 90°
D) 180°

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, iki vektörün toplamının büyüklüğünün, vektörlerin kendi büyüklüklerinin toplamına eşit olabilmesi için aralarındaki açının kaç derece olması gerektiğini bulacağız. Vektörlerin nasıl toplandığını ve bu özel durumun ne anlama geldiğini adım adım inceleyelim.

• 1. Vektör Toplamının Büyüklüğü Formülünü Hatırlayalım:

  Aynı düzlemde bulunan iki vektörün, diyelim ki $\vec{A}$ ve $\vec{B}$ vektörlerinin toplamının (bileşke vektör $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$) büyüklüğü, aralarındaki açı $\theta$ olmak üzere aşağıdaki formülle bulunur:

  $|\vec{R}| = \sqrt{|\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}|\cos\theta}$

  Burada $|\vec{A}|$ ve $|\vec{B}|$ vektörlerin büyüklüklerini ifade eder.

• 2. Soruda Verilen Koşulu Anlayalım:

  Soru bizden, bileşke vektörün büyüklüğünün, vektörlerin büyüklükleri toplamına eşit olmasını istiyor. Yani matematiksel olarak:

  $|\vec{R}| = |\vec{A}| + |\vec{B}|$

• 3. Formülleri Birleştirelim ve Denklemi Kuralım:

  Şimdi, soruda verilen koşulu (adım 2) genel formülde (adım 1) yerine yazalım. Her iki tarafın karesini alarak karekökten kurtulmak işimizi kolaylaştıracaktır:

  $(|\vec{A}| + |\vec{B}|)^2 = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}|\cos\theta$

• 4. Denklemi Çözelim ve $\cos\theta$ Değerini Bulalım:

  Denklemin sol tarafını açalım (tam kare ifade):

  $|\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}| = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}|\cos\theta$

  Denklemin her iki tarafında da $|\vec{A}|^2$ ve $|\vec{B}|^2$ terimleri bulunur. Bu terimleri her iki taraftan çıkarabiliriz:

  $2|\vec{A}||\vec{B}| = 2|\vec{A}||\vec{B}|\cos\theta$

  Şimdi, her iki tarafı $2|\vec{A}||\vec{B}|$ ile bölelim (vektörlerin büyüklüklerinin sıfır olmadığını varsayıyoruz, çünkü sıfır büyüklüğündeki bir vektörün yönü belirsizdir ve toplama etkisi olmaz):

  $\cos\theta = 1$

• 5. Açıyı Belirleyelim ve Fiziksel Anlamını Yorumlayalım:

  Kosinüsü $1$ olan açı kaç derecedir? Trigonometrik bilgimizden biliyoruz ki:

  $\theta = 0^\circ$

  Bu sonuç bize şunu anlatır: İki vektör arasındaki açı $0^\circ$ olduğunda, yani vektörler aynı yönde ve paralel olduğunda, onların toplamının büyüklüğü, vektörlerin kendi büyüklüklerinin doğrudan toplamına eşit olur. Bu durum, günlük hayatta iki kişinin aynı yöne doğru bir cismi itmesi gibi düşünülebilir; uygulanan kuvvetler doğrudan toplanır ve cisim üzerindeki toplam etki en büyük olur.

Bu nedenle, vektörler arasındaki açı $0^\circ$ olmalıdır.

Cevap A seçeneğidir.