Bir okuldaki öğrencilerin %80'i İngilizce, %60'ı Almanca kursuna gitmektedir. En az bir kursa giden öğrencilerin oranı %90 olduğuna göre, her iki kursa giden öğrencilerin oranı yüzde kaçtır?
A) %40
B) %45
C) %50
D) %55
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu tür yüzde problemlerini çözerken, kümeler mantığını veya olasılık formüllerini kullanmak işimizi çok kolaylaştırır. Adım adım ilerleyelim ve bu soruyu birlikte çözelim.
- 1. Adım: Verilen Bilgileri Anlayalım ve Sembollerle İfade Edelim
- Okuldaki tüm öğrencilerin oranını %100 olarak kabul edelim.
- İngilizce kursuna giden öğrencilerin oranı: $P(İngilizce) = \%80$
- Almanca kursuna giden öğrencilerin oranı: $P(Almanca) = \%60$
- En az bir kursa giden öğrencilerin oranı (yani İngilizce VEYA Almanca kursuna gidenler): $P(İngilizce \cup Almanca) = \%90$
- Bizden istenen, hem İngilizce HEM de Almanca kursuna giden öğrencilerin oranıdır. Bunu $P(İngilizce \cap Almanca)$ olarak ifade edebiliriz.
- 2. Adım: Kullanacağımız Formülü Hatırlayalım
- İki olayın birleşiminin (veya iki kümenin birleşiminin) yüzdesini bulmak için kullandığımız genel bir formül vardır:
- $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
- Bu formül bize şunu söyler: A olayının yüzdesi ile B olayının yüzdesini topladığımızda, her iki olayın da gerçekleştiği durumu (yani kesişimi) iki kez saymış oluruz. Bu yüzden kesişimi bir kez çıkarmamız gerekir ki doğru toplamı bulalım.
- 3. Adım: Verilen Bilgileri Formülde Yerine Koyalım
- Formülümüzü kendi problemimize uyarlayalım:
- $P(İngilizce \cup Almanca) = P(İngilizce) + P(Almanca) - P(İngilizce \cap Almanca)$
- Şimdi bildiğimiz değerleri formüle yerleştirelim:
- $\%90 = \%80 + \%60 - P(İngilizce \cap Almanca)$
- 4. Adım: Denklemi Çözerek İstenen Oranı Bulalım
- Denklemimiz: $\%90 = \%80 + \%60 - P(İngilizce \cap Almanca)$
- Önce sağ taraftaki yüzdeleri toplayalım:
- $\%90 = \%140 - P(İngilizce \cap Almanca)$
- Şimdi $P(İngilizce \cap Almanca)$'yı yalnız bırakmak için denklemi düzenleyelim. $P(İngilizce \cap Almanca)$'yı eşitliğin sol tarafına, $\%90$'ı ise sağ tarafına alalım:
- $P(İngilizce \cap Almanca) = \%140 - \%90$
- Son olarak çıkarma işlemini yapalım:
- $P(İngilizce \cap Almanca) = \%50$
Bu sonuç, öğrencilerin %50'sinin hem İngilizce hem de Almanca kursuna gittiği anlamına gelir.
Cevap C seçeneğidir.
