Ancak ve ancak bağlacı doğruluk tablosu Test 1

Matematiksel olarak p ⇔ q önermesi aşağıdakilerden hangisine eşdeğerdir?

A) p ∧ q
B) p ∨ q
C) (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)
D) (p ∨ q) ∧ (¬p ∨ ¬q)

Merhaba sevgili öğrenciler,

Bu soruda, matematiksel mantıkta sıkça karşılaştığımız "$p \Leftrightarrow q$" (p ancak ve ancak q) önermesinin hangi seçenekteki ifadeye eşdeğer olduğunu bulmamız isteniyor. İki önermenin eşdeğer olması demek, her durumda aynı doğruluk değerine sahip olmaları demektir. Bunu anlamanın en iyi yolu, doğruluk tablolarını kullanmaktır.

• Adım 1: "$p \Leftrightarrow q$" önermesinin doğruluk tablosunu hatırlayalım.

  "$p \Leftrightarrow q$" önermesi, $p$ ve $q$ önermelerinin doğruluk değerleri aynı olduğunda (yani ikisi de doğru veya ikisi de yanlış olduğunda) doğru, farklı olduğunda ise yanlıştır.

  Doğruluk Tablosu:

  $p$	$q$	$p \Leftrightarrow q$
  D	D	D
  D	Y	Y
  Y	D	Y
  Y	Y	D

  Şimdi seçenekleri tek tek inceleyerek hangisinin bu tabloyla aynı sonucu verdiğini bulalım.

• Adım 2: A) "$p \wedge q$" seçeneğini inceleyelim.

  "$p \wedge q$" (p ve q) önermesi, ancak ve ancak hem $p$ hem de $q$ doğru olduğunda doğrudur. Diğer tüm durumlarda yanlıştır.

  Doğruluk Tablosu:

  $p$	$q$	$p \wedge q$
  D	D	D
  D	Y	Y
  Y	D	Y
  Y	Y	Y

  Gördüğümüz gibi, $p$ ve $q$ ikisi de yanlış olduğunda ($Y, Y$ durumu), "$p \Leftrightarrow q$" doğru iken, "$p \wedge q$" yanlıştır. Bu nedenle A seçeneği eşdeğer değildir.

• Adım 3: B) "$p \vee q$" seçeneğini inceleyelim.

  "$p \vee q$" (p veya q) önermesi, $p$ veya $q$'dan en az biri doğru olduğunda doğrudur. Sadece ikisi de yanlış olduğunda yanlıştır.

  Doğruluk Tablosu:

  $p$	$q$	$p \vee q$
  D	D	D
  D	Y	D
  Y	D	D
  Y	Y	Y

  Bu tablo da "$p \Leftrightarrow q$" tablosuyla aynı değildir (örneğin, $D, Y$ ve $Y, D$ durumlarında farklılık gösterir). Bu nedenle B seçeneği eşdeğer değildir.

• Adım 4: C) "$(p \wedge q) \vee (\neg p \wedge \neg q)$" seçeneğini inceleyelim.

  Bu önermeyi adım adım değerlendirelim:

  • "$\neg p$" (p'nin değili) ve "$\neg q$" (q'nun değili) ifadeleri, $p$ ve $q$'nun tersi doğruluk değerlerine sahiptir.
  • "$(p \wedge q)$" kısmı, $p$ ve $q$ ikisi de doğru olduğunda doğrudur.
  • "$(\neg p \wedge \neg q)$" kısmı, $p$ ve $q$ ikisi de yanlış olduğunda (yani $\neg p$ ve $\neg q$ ikisi de doğru olduğunda) doğrudur.
  • Bu iki durumu "$\vee$" (veya) bağlacı ile birleştirdiğimizde, önerme ya $p$ ve $q$ ikisi de doğru olduğunda ya da $p$ ve $q$ ikisi de yanlış olduğunda doğru olacaktır.

  Doğruluk Tablosu:

  $p$	$q$	$\neg p$	$\neg q$	$p \wedge q$	$\neg p \wedge \neg q$	$(p \wedge q) \vee (\neg p \wedge \neg q)$
  D	D	Y	Y	D	Y	D
  D	Y	Y	D	Y	Y	Y
  Y	D	D	Y	Y	Y	Y
  Y	Y	D	D	Y	D	D

  Bu tablonun son sütunu, "$p \Leftrightarrow q$" önermesinin doğruluk tablosuyla tamamen aynıdır. Yani, $p$ ve $q$ aynı doğruluk değerine sahipse önerme doğru, farklı doğruluk değerlerine sahipse yanlıştır. Bu da "$p \Leftrightarrow q$" tanımına uyar.

• Adım 5: D) "$(p \vee q) \wedge (\neg p \vee \neg q)$" seçeneğini inceleyelim.

  Bu önerme, genellikle "$p \underline{\vee} q$" (p ya da q, yani özel veya) olarak bilinen dışlayıcı veya (exclusive or) önermesine eşdeğerdir. Bu önerme, $p$ ve $q$'dan sadece birinin doğru olduğu durumlarda doğrudur.

  Doğruluk Tablosu:

  $p$	$q$	$\neg p$	$\neg q$	$p \vee q$	$\neg p \vee \neg q$	$(p \vee q) \wedge (\neg p \vee \neg q)$
  D	D	Y	Y	D	Y	Y
  D	Y	Y	D	D	D	D
  Y	D	D	Y	D	D	D
  Y	Y	D	D	Y	D	Y

  Bu tablo, "$p \Leftrightarrow q$" tablosuyla aynı değildir (aslında tam tersidir). Bu nedenle D seçeneği eşdeğer değildir.

Tüm seçenekleri incelediğimizde, C seçeneğindeki önermenin "$p \Leftrightarrow q$" önermesiyle aynı doğruluk tablosuna sahip olduğunu gördük.

Cevap C seçeneğidir.