Merhaba sevgili öğrenciler!
Bir fonksiyonun polinom fonksiyonu olabilmesi için değişkenin (genellikle $x$) üslerinin bazı özel şartları sağlaması gerekir. Soru metninde de belirtildiği gibi, bu şartlar şunlardır:
- Değişkenin üsleri negatif olmamalıdır. Yani, üsler $0, 1, 2, 3, \dots$ gibi sayılar olmalıdır.
- Değişkenin üsleri rasyonel sayı olmamalıdır (rasyonel sayı olup tam sayı olmayanlar kastediliyor). Başka bir deyişle, üsler kesirli sayılar (örneğin $1/2, 3/4$) olmamalıdır. Kısacası, üsler doğal sayılar olmalıdır ($0$ ve pozitif tam sayılar).
Şimdi bu kurallara göre verilen seçenekleri tek tek inceleyelim:
- A) $f(x) = 4x^5 - 3x^2 + 7$
- Buradaki değişken $x$'in üsleri $5$ ve $2$'dir. Sabit terim olan $7$ ise $7x^0$ olarak düşünülebilir, yani üssü $0$'dır.
- $5$, $2$ ve $0$ sayılarının hepsi negatif olmayan tam sayılardır.
- Bu nedenle, $f(x)$ bir polinom fonksiyondur.
- B) $g(x) = \sqrt{x} + 2x$
- Bu ifadeyi üslü biçimde yazarsak, $\sqrt{x}$ terimi $x^{1/2}$ olarak ifade edilir. Diğer terim $2x$ ise $2x^1$ olarak düşünülebilir.
- Buradaki üsler $1/2$ ve $1$'dir.
- $1/2$ sayısı negatif değildir ancak bir tam sayı da değildir; rasyonel bir sayıdır. Polinom tanımına göre üslerin tam sayı olması gerekir.
- Bu nedenle, $g(x)$ bir polinom fonksiyonu değildir.
- C) $h(x) = x^{10} + 5$
- Buradaki değişken $x$'in üssü $10$'dur. Sabit terim olan $5$ ise $5x^0$ olarak düşünülebilir, yani üssü $0$'dır.
- $10$ ve $0$ sayılarının hepsi negatif olmayan tam sayılardır.
- Bu nedenle, $h(x)$ bir polinom fonksiyondur.
- D) $k(x) = 3x - 8$
- Buradaki değişken $x$'in üssü $1$'dir. Sabit terim olan $-8$ ise $-8x^0$ olarak düşünülebilir, yani üssü $0$'dır.
- $1$ ve $0$ sayılarının hepsi negatif olmayan tam sayılardır.
- Bu nedenle, $k(x)$ bir polinom fonksiyondur.
Yukarıdaki incelemelere göre, üssü tam sayı olmayan bir terim içerdiği için $g(x)$ fonksiyonu bir polinom fonksiyonu değildir.
Cevap B seçeneğidir.
