Bir sınıftaki öğrencilerin %70'i matematikten, %60'ı fizikten başarılıdır. Her iki dersten başarısız olan öğrenci olmadığına göre, her iki dersten başarılı olan öğrencilerin yüzdesi kaçtır?
A) %10Sevgili öğrenciler, bu tür yüzde problemleri küme mantığıyla çok kolay çözülebilir. Gelin, adım adım bu soruyu birlikte çözelim ve mantığını kavrayalım!
Öncelikle soruda bize hangi bilgiler verilmiş, onları netleştirelim:
• Sınıftaki öğrencilerin tamamı $100\%$’dür.
• Matematikten başarılı olan öğrenci oranı: $70\%$.
• Fizikten başarılı olan öğrenci oranı: $60\%$.
• Her iki dersten de başarısız olan öğrenci oranı: $0\%$ (yani hiç kimse iki dersten de başarısız değil).
Bu son bilgi çok önemli! Hiç kimsenin iki dersten de başarısız olmaması demek, sınıftaki tüm öğrencilerin en az bir dersten başarılı olduğu anlamına gelir. Yani, matematikten başarılı olanlar ile fizikten başarılı olanların birleşimi tüm sınıfı ($100\%$) oluşturur.
Bu tür problemleri çözerken genellikle şu formülü kullanırız:
(A veya B'den başarılı olanların yüzdesi) = (A'dan başarılı olanların yüzdesi) + (B'den başarılı olanların yüzdesi) - (Hem A hem B'den başarılı olanların yüzdesi)
Matematiksel olarak ifade edersek, $M$ matematikten başarılı olanları, $F$ fizikten başarılı olanları temsil etsin:
$P(M \cup F) = P(M) + P(F) - P(M \cap F)$
Burada:
• $P(M \cup F)$: Matematik veya fizikten (en az birinden) başarılı olanların yüzdesi.
• $P(M)$: Matematikten başarılı olanların yüzdesi.
• $P(F)$: Fizikten başarılı olanların yüzdesi.
• $P(M \cap F)$: Hem matematik hem de fizikten başarılı olanların yüzdesi (bizim bulmak istediğimiz).
Yukarıdaki formülde bildiğimiz değerleri yerine yazalım:
• $P(M \cup F) = 100\%$ (Çünkü her iki dersten de başarısız olan yok, yani tüm öğrenciler en az birinden başarılı).
• $P(M) = 70\%$
• $P(F) = 60\%$
Formülümüz şimdi şöyle olur:
$100\% = 70\% + 60\% - P(M \cap F)$
Şimdi denklemi çözerek $P(M \cap F)$ değerini bulalım:
• Önce sağ taraftaki yüzdeleri toplayalım: $70\% + 60\% = 130\%$.
• Denklemimiz şimdi şöyle: $100\% = 130\% - P(M \cap F)$.
• $P(M \cap F)$'yi yalnız bırakmak için $130\%$ değerini $100\%$ değerinin olduğu tarafa atalım (işareti değişir):
• $P(M \cap F) = 130\% - 100\%$
• $P(M \cap F) = 30\%$
İşte bu kadar! Hem matematikten hem de fizikten başarılı olan öğrencilerin yüzdesi $30\%$’dur.
Gördüğünüz gibi, doğru formülü ve verilen bilgileri dikkatlice kullanarak sonuca kolayca ulaşabiliriz. Unutmayın, "her iki dersten başarısız olan öğrenci yok" bilgisi, tüm sınıfın en az bir dersten başarılı olduğunu gösterir ve bu da $P(M \cup F)$ değerinin $100\%$ olduğunu anlamamızı sağlar.
Cevap C seçeneğidir.
