Kümelerde birleşim ve kesişim özellikleri Test 1

A = {x: -5 < x ≤ 4, x ∈ Z} ve B = {x: -2 ≤ x < 6, x ∈ Z} kümeleri veriliyor. A ∩ B kümesinin eleman sayısı kaçtır?

A) 5
B) 6
C) 7
D) 8

Bu soruda verilen kümelerin kesişimini bulup eleman sayısını hesaplayalım.

• 1. Adım: A kümesinin elemanlarını belirleyelim.

• A kümesi $A = \{x: -5 < x \leq 4, x \in Z\}$ şeklinde tanımlanmıştır. Bu ifade, $x$'in -5'ten büyük ve 4'e eşit veya 4'ten küçük bir tam sayı olduğunu belirtir.

  Buna göre, A kümesinin elemanları şunlardır: $A = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$

• 2. Adım: B kümesinin elemanlarını belirleyelim.

• B kümesi $B = \{x: -2 \leq x < 6, x \in Z\}$ şeklinde tanımlanmıştır. Bu ifade, $x$'in -2'ye eşit veya -2'den büyük ve 6'dan küçük bir tam sayı olduğunu belirtir.

  Buna göre, B kümesinin elemanları şunlardır: $B = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}$

• 3. Adım: A ve B kümelerinin kesişimini ($A \cap B$) bulalım.

• Kesişim kümesi, her iki kümede de ortak olan elemanlardan oluşur. A ve B kümelerindeki ortak elemanları inceleyelim:

  A kümesi: $\{-4, -3, \underline{-2}, \underline{-1}, \underline{0}, \underline{1}, \underline{2}, \underline{3}, \underline{4}\}$

  B kümesi: $\{\underline{-2}, \underline{-1}, \underline{0}, \underline{1}, \underline{2}, \underline{3}, \underline{4}, 5\}$

  Görüldüğü gibi, her iki kümede de bulunan ortak elemanlar şunlardır:

  $A \cap B = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$

• 4. Adım: $A \cap B$ kümesinin eleman sayısını bulalım.

• Kesişim kümesindeki elemanları sayalım: $-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4$.

  Bu kümede toplam $7$ eleman bulunmaktadır.

  Eleman sayısını bulmak için son elemandan ilk elemanı çıkarıp 1 ekleyebiliriz: $4 - (-2) + 1 = 4 + 2 + 1 = 7$.

Bu durumda, $A \cap B$ kümesinin eleman sayısı $7$'dir.

Cevap B seçeneğidir.