P = {x | -3 < x ≤ 2, x ∈ Z} ve R = {x | |x| ≤ 2, x ∈ Z} kümeleri veriliyor.
Bu kümeler için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) P ⊂ R
B) R ⊂ P
C) P = R
D) P ∩ R = {-2, -1, 0}
Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, verilen iki kümenin elemanlarını belirleyip, bu kümeler arasındaki ilişkiyi inceleyeceğiz. Adım adım ilerleyerek doğru cevabı bulalım.
- 1. P kümesinin elemanlarını belirleyelim:
- P kümesi, $P = \{x \mid -3 < x \leq 2, x \in Z\}$ şeklinde tanımlanmıştır.
- Burada $x \in Z$ ifadesi, $x$'in bir tam sayı olduğunu belirtir.
- $-3 < x$ ifadesi, $x$'in -3'ten büyük olması gerektiğini söyler. Yani $x$, -2, -1, 0, 1, 2, ... olabilir.
- $x \leq 2$ ifadesi, $x$'in 2'ye eşit veya 2'den küçük olması gerektiğini söyler. Yani $x$, ..., 0, 1, 2 olabilir.
- Bu iki koşulu ($-3 < x$ ve $x \leq 2$) sağlayan tam sayılar şunlardır: -2, -1, 0, 1, 2.
- O halde, $P = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ kümesini elde ederiz.
- 2. R kümesinin elemanlarını belirleyelim:
- R kümesi, $R = \{x \mid |x| \leq 2, x \in Z\}$ şeklinde tanımlanmıştır.
- Yine $x \in Z$ ifadesi, $x$'in bir tam sayı olduğunu belirtir.
- $|x| \leq 2$ ifadesi, $x$'in mutlak değerinin 2'ye eşit veya 2'den küçük olması gerektiğini söyler. Mutlak değer tanımına göre, bu ifade $-2 \leq x \leq 2$ anlamına gelir.
- Bu koşulu sağlayan tam sayılar şunlardır: -2, -1, 0, 1, 2.
- O halde, $R = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ kümesini elde ederiz.
- 3. P ve R kümelerini karşılaştıralım:
- P kümesinin elemanları: $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$
- R kümesinin elemanları: $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$
- Gördüğümüz gibi, P ve R kümeleri tamamen aynı elemanlardan oluşmaktadır. Bu durumda, bu iki küme birbirine eşittir. Yani $P = R$.
- 4. Seçenekleri değerlendirelim:
- A) $P \subset R$: P, R'nin alt kümesidir (ve P, R'ye eşit değildir). Bu ifade yanlıştır çünkü P ve R eşittir.
- B) $R \subset P$: R, P'nin alt kümesidir (ve R, P'ye eşit değildir). Bu ifade yanlıştır çünkü P ve R eşittir.
- C) $P = R$: P ve R kümeleri birbirine eşittir. Bu ifade doğrudur.
- D) $P \cap R = \{-2, -1, 0\}$: P ve R kümelerinin kesişimi $\{-2, -1, 0\}$'dır. Kümeler eşit olduğu için kesişimleri de kendilerine eşit olmalıdır: $P \cap R = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$. Bu ifade yanlıştır.
Bu adımları takip ettiğimizde, P ve R kümelerinin aynı elemanlara sahip olduğunu ve dolayısıyla birbirine eşit olduğunu görüyoruz.
Cevap C seçeneğidir.
