Eşit kümeler nedir Test 1

M = {x | x² - 5x + 6 = 0, x ∈ R} ve N = {2, 3} kümeleri veriliyor.
Bu kümelerle ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) M ⊂ N
B) N ⊂ M
C) M = N
D) M ∩ N = ∅

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bize verilen iki kümenin elemanlarını belirleyerek aralarındaki ilişkiyi bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek doğru cevabı bulalım.

• 1. Adım: $M$ kümesinin elemanlarını bulalım.

  $M$ kümesi, $x^2 - 5x + 6 = 0$ denklemini sağlayan tüm gerçek $x$ değerlerinden oluşur. Bu bir ikinci dereceden denklemdir ve çarpanlara ayırma yöntemiyle kolayca çözebiliriz. Amacımız, çarpımları $+6$ ve toplamları $-5$ olan iki sayı bulmaktır. Bu sayılar $-2$ ve $-3$'tür.

  Denklemi çarpanlarına ayıralım:

  $(x - 2)(x - 3) = 0$

  Bu denklemin köklerini bulmak için her bir çarpanı sıfıra eşitleyelim:

  • $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$
  • $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$

  Bulduğumuz $x$ değerleri ($2$ ve $3$) gerçek sayılar olduğu için, $M$ kümesinin elemanları $2$ ve $3$'tür. Yani, $M = \{2, 3\}$.

• 2. Adım: $M$ ve $N$ kümelerini karşılaştıralım.

  Biz $M = \{2, 3\}$ olarak bulduk. Soruda ise $N = \{2, 3\}$ olarak verilmişti.

  Gördüğümüz gibi, $M$ ve $N$ kümeleri tamamen aynı elemanlara sahiptir.

• 3. Adım: Seçenekleri değerlendirelim.

  Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim ve hangi ifadenin doğru olduğunu belirleyelim:

  • A) $M \subset N$: Bu ifade, $M$ kümesinin $N$ kümesinin bir alt kümesi olduğunu ve $N$ kümesinde $M$'de olmayan en az bir eleman bulunduğunu (yani $M$'nin $N$'nin öz alt kümesi olduğunu) belirtir. Ancak $M$ ve $N$ aynı elemanlara sahip olduğu için bu ifade yanlıştır.
  • B) $N \subset M$: Bu ifade, $N$ kümesinin $M$ kümesinin bir alt kümesi olduğunu ve $M$ kümesinde $N$'de olmayan en az bir eleman bulunduğunu belirtir. $M$ ve $N$ aynı elemanlara sahip olduğu için bu ifade de yanlıştır.
  • C) $M = N$: Bu ifade, $M$ ve $N$ kümelerinin tamamen aynı elemanlara sahip olduğunu belirtir. Bizim bulduğumuz $M = \{2, 3\}$ ve verilen $N = \{2, 3\}$ olduğu için bu ifade doğrudur.
  • D) $M \cap N = \emptyset$: Bu ifade, $M$ ve $N$ kümelerinin hiçbir ortak elemanı olmadığını (ayrık kümeler olduğunu) belirtir. Ancak $M$ ve $N$ kümelerinin tüm elemanları ortaktır, bu yüzden bu ifade yanlıştır.

Bu adımları takip ettiğimizde, $M$ ve $N$ kümelerinin birbirine eşit olduğunu açıkça görüyoruz.

Cevap C seçeneğidir.