Bir gitar teli saniyede 250 titreşim yapmaktadır. Telin uzunluğu yarıya indirilirse yeni frekansı kaç Hz olur?
A) 125Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bir gitar telinin titreşim frekansının telin uzunluğuyla nasıl ilişkili olduğunu inceleyeceğiz. Adım adım ilerleyerek doğru cevabı bulalım.
1. Verilenleri Anlayalım:
Bize başlangıçta bir gitar telinin saniyede 250 titreşim yaptığını, yani frekansının $f_1 = 250$ Hz olduğunu söylüyor. Daha sonra telin uzunluğunun yarıya indirildiği belirtiliyor. Yani, eğer başlangıçtaki uzunluk $L_1$ ise, yeni uzunluk $L_2 = \frac{L_1}{2}$ olacaktır. Bizden istenen ise bu yeni durumda telin frekansı, yani $f_2$ değeridir.
2. Temel Prensibi Hatırlayalım:
Bir gitar teli gibi gerilmiş bir telin temel titreşim frekansı, telin uzunluğuyla ters orantılıdır. Bu ne demek? Eğer telin uzunluğunu azaltırsak (kısaltırsak), frekansı artar; eğer telin uzunluğunu artırırsak (uzatırsak), frekansı azalır. Matematiksel olarak bu ilişkiyi $f \propto \frac{1}{L}$ şeklinde ifade edebiliriz. Burada $f$ frekansı, $L$ ise telin uzunluğunu temsil eder. Bu orantı, telin gerginliği ve birim uzunluk başına kütlesi (lineer yoğunluğu) sabit kaldığı sürece geçerlidir.
3. Orantıyı Uygulayalım:
Frekans ve uzunluk arasındaki ters orantı ilişkisini kullanarak bir denklem kurabiliriz:
Başlangıç durumu için: $f_1 \propto \frac{1}{L_1}$
Yeni durum için: $f_2 \propto \frac{1}{L_2}$
Bu iki orantıyı birbirine oranlarsak, daha net bir ilişki elde ederiz:
$\frac{f_2}{f_1} = \frac{1/L_2}{1/L_1}$
Bu ifadeyi düzenlersek:
$\frac{f_2}{f_1} = \frac{L_1}{L_2}$
4. Değerleri Yerine Koyup Hesaplayalım:
Şimdi bildiğimiz değerleri bu denkleme yerleştirelim:
Başlangıç frekansı $f_1 = 250$ Hz.
Yeni uzunluk $L_2 = \frac{L_1}{2}$.
Denklemimiz: $\frac{f_2}{250} = \frac{L_1}{L_1/2}$
Sağ tarafı basitleştirelim: $\frac{L_1}{L_1/2} = L_1 \times \frac{2}{L_1} = 2$
Şimdi denklemimiz şu hale geldi: $\frac{f_2}{250} = 2$
$f_2$ değerini bulmak için her iki tarafı 250 ile çarpalım:
$f_2 = 2 \times 250$ Hz
$f_2 = 500$ Hz
5. Sonucu Değerlendirelim:
Gördüğümüz gibi, telin uzunluğu yarıya indirildiğinde (kısaltıldığında), frekansı iki katına çıktı. Bu da frekansın uzunlukla ters orantılı olduğu prensibiyle tamamen uyumludur.
Cevap C seçeneğidir.
