Bu soruda, düzlemde bir çember üzerinde işaretlenmiş noktaları kullanarak kaç farklı üçgen çizebileceğimizi bulmamız isteniyor. Haydi bu problemi adım adım çözelim:
-
Üçgenin Tanımı: Bir üçgen oluşturmak için kaç noktaya ihtiyacımız var? Evet, tam olarak 3 noktaya ihtiyacımız var. Bu 3 nokta birleştirildiğinde bir üçgen meydana gelir.
-
Noktaların Konumu ve Önemi: Soruda noktaların bir çember üzerinde olduğu belirtilmiş. Bu bilgi çok önemlidir çünkü bir çember üzerindeki herhangi 3 nokta asla doğrusal olamaz. Yani, seçeceğimiz herhangi 3 nokta kesinlikle bir üçgen oluşturacaktır. Eğer noktalar doğrusal olabilseydi, o zaman doğrusal olan 3 noktadan üçgen çizilemeyeceği için farklı bir durum ortaya çıkardı. Ancak çember üzerindeki noktalar için böyle bir sorunumuz yok.
-
Seçim Yapma Yöntemi: Elimizde toplam 6 nokta var ve biz bu 6 noktadan 3 tanesini seçeceğiz. Seçtiğimiz noktaların sırası önemli mi? Yani, A, B, C noktalarını seçmekle B, A, C noktalarını seçmek farklı üçgenler mi oluşturur? Hayır, aynı üçgeni oluştururlar. Bu durumda, sıralamanın önemli olmadığı seçim problemlerinde kombinasyon kullanırız.
-
Kombinasyon Formülü: $n$ farklı eleman arasından $k$ tane elemanı seçme sayısı $C(n, k)$ veya $\binom{n}{k}$ şeklinde gösterilir ve şu formülle hesaplanır:
$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
Burada $n!$ (n faktöriyel), $n \times (n-1) \times \dots \times 1$ anlamına gelir.
-
Değerleri Yerine Koyma: Bizim durumumuzda, toplam nokta sayısı $n=6$ ve seçmek istediğimiz nokta sayısı (bir üçgen için) $k=3$. Şimdi bu değerleri formülde yerine koyalım:
$C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!}$
-
Faktöriyelleri Hesaplama:
$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$
$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$
-
Hesaplamayı Tamamlama: Şimdi bulduğumuz faktöriyel değerlerini formülde yerine yazalım:
$C(6, 3) = \frac{720}{6 \times 6} = \frac{720}{36}$
$C(6, 3) = 20$
-
Bu durumda, 6 farklı noktadan 3 tanesini seçerek 20 farklı üçgen oluşturabiliriz.
Cevap B seçeneğidir.
