Bir çubuk üzerinde hareket edebilen iki özdeş küre, çubuğun merkezinden eşit uzaklıkta iken sistemin eylemsizlik momenti $I$'dır. Küreler çubuğun uçlarına kaydırıldığında eylemsizlik momenti nasıl değişir?
A) 4 katına çıkarMerhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir çubuk üzerindeki kürelerin konumları değiştiğinde sistemin eylemsizlik momentinin nasıl değiştiğini inceleyeceğiz. Eylemsizlik momenti, bir cismin dönme hareketine karşı gösterdiği direncin bir ölçüsüdür ve kütlenin dönme eksenine olan uzaklığına bağlıdır.
Eylemsizlik Momenti Kavramı:
Noktasal bir kütle ($m$) için dönme eksenine olan uzaklık ($r$) ile eylemsizlik momenti ($I$) arasındaki ilişki şu şekildedir: $I = m r^2$.
Eğer birden fazla kütle varsa, sistemin toplam eylemsizlik momenti, her bir kütlenin eylemsizlik momentlerinin toplamıdır: $I_{toplam} = \sum m_i r_i^2$.
Başlangıç Durumu:
İki özdeş kürenin her birinin kütlesi $m$ olsun. Çubuğun merkezinden eşit uzaklıkta oldukları söyleniyor. Bu uzaklığa $r_1$ diyelim.
Sistemin başlangıçtaki eylemsizlik momenti $I$ olarak verilmiş. Çubuğun kendi eylemsizlik momentini ihmal edersek (veya kürelerin katkısının baskın olduğunu varsayarsak), iki kürenin toplam eylemsizlik momenti:
$I = m r_1^2 + m r_1^2 = 2 m r_1^2$
Son Durum:
Küreler çubuğun uçlarına kaydırıldığında, dönme eksenine olan uzaklıkları değişir. Bu yeni uzaklığa $r_2$ diyelim.
Sistemin son durumdaki eylemsizlik momenti $I_{yeni}$ olacaktır:
$I_{yeni} = m r_2^2 + m r_2^2 = 2 m r_2^2$
Uzaklıkların Karşılaştırılması:
Soruda başlangıçtaki $r_1$ uzaklığı ile son durumdaki $r_2$ uzaklığı arasında doğrudan bir ilişki verilmemiş. Ancak seçenekler belirli bir kat artışını gösterdiği için, eylemsizlik momentinin belirli bir oranda değiştiğini varsayabiliriz. Eylemsizlik momenti uzaklığın karesiyle orantılı ($I \propto r^2$) olduğundan, eylemsizlik momentinin 4 katına çıkması için uzaklığın $\sqrt{4} = 2$ katına çıkması gerekir.
Bu tür sorularda, eğer spesifik uzaklıklar verilmemişse ve şıklarda net bir kat oranı varsa, genellikle kürelerin başlangıçtaki konumlarından uçlara kaydırıldığında dönme eksenine olan uzaklıklarının iki katına çıktığı durum kastedilir. Yani, $r_2 = 2 r_1$ olduğunu varsayabiliriz.
Eylemsizlik Momentindeki Değişim:
Şimdi $r_2 = 2 r_1$ ilişkisini $I_{yeni}$ denkleminde yerine koyalım:
$I_{yeni} = 2 m (2 r_1)^2$
$I_{yeni} = 2 m (4 r_1^2)$
$I_{yeni} = 4 (2 m r_1^2)$
Başlangıçtaki eylemsizlik momentinin $I = 2 m r_1^2$ olduğunu biliyoruz. Bu ifadeyi yerine yazarsak:
$I_{yeni} = 4 I$
Sonuç:
Küreler çubuğun uçlarına kaydırıldığında, sistemin eylemsizlik momenti başlangıçtaki değerinin 4 katına çıkar.
Cevap A seçeneğidir.
