Bir vektörün x bileşeni -8 birim, y bileşeni 6 birimdir. Bu vektörün büyüklüğü ve x-ekseni ile yaptığı açı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 10 birim, 143°Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir vektörün bileşenleri verilmiş ve bizden bu vektörün büyüklüğünü ve x-ekseni ile yaptığı açıyı bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
Bir vektörün x bileşeni ($V_x$) ve y bileşeni ($V_y$), vektörün koordinat sistemindeki konumunu ve yönünü belirler. Bu soruda:
Bir vektörün büyüklüğü (şiddeti), bileşenleri bilindiğinde Pisagor teoremi kullanılarak bulunur. Eğer vektörün x ve y bileşenleri $V_x$ ve $V_y$ ise, büyüklüğü $V$ şu formülle hesaplanır:
$V = \sqrt{V_x^2 + V_y^2}$
Şimdi verilen değerleri yerine koyalım:
$V = \sqrt{(-8)^2 + (6)^2}$
$V = \sqrt{64 + 36}$
$V = \sqrt{100}$
$V = 10$ birim
Buna göre, vektörün büyüklüğü 10 birimdir.
Vektörün yönünü bulmak için trigonometrik fonksiyonlardan tanjantı kullanırız. Açıyı bulurken vektörün hangi bölgede olduğuna dikkat etmek çok önemlidir.
$\tan(\alpha) = \frac{|V_y|}{|V_x|}$
$\tan(\alpha) = \frac{|6|}{|-8|} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0.75$
Bu durumda, $\alpha = \arctan(0.75)$ yaklaşık olarak $36.87^\circ$ veya yuvarlarsak $37^\circ$ olur.
$V_x = -8$ (negatif) ve $V_y = 6$ (pozitif) olduğu için, bu vektör koordinat sisteminin ikinci bölgesindedir.
İkinci bölgedeki bir vektörün pozitif x-ekseni ile yaptığı açı ($\theta$), $180^\circ$ eksi referans açısı ($\alpha$) şeklinde bulunur.
$\theta = 180^\circ - \alpha$
$\theta = 180^\circ - 37^\circ$
$\theta = 143^\circ$
Buna göre, vektörün x-ekseni ile yaptığı açı $143^\circ$dir.
Bulduğumuz değerler: Büyüklük = 10 birim, Açı = $143^\circ$.
Bu değerler seçenek A ile eşleşmektedir.
Cevap A seçeneğidir.
