Vektörlerin bileşenlerine ayrılması Test 1

Bir vektörün bileşenleri F_x = 15 birim ve F_y = 20 birimdir. Bu vektörün büyüklüğü 50 birim yapılmak isteniyor. Vektörün doğrultusunu değiştirmeden büyüklüğünü 50 birim yapmak için bileşenler kaç birim olmalıdır?

A) F_x=25, F_y=25
B) F_x=30, F_y=40
C) F_x=20, F_y=30
D) F_x=35, F_y=45

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir vektörün bileşenleri verilmiş ve doğrultusu değiştirilmeden büyüklüğünün nasıl ayarlanacağını bulmamız isteniyor. Vektörler, hem büyüklüğü hem de yönü olan fiziksel niceliklerdir. Bir vektörün doğrultusunu değiştirmeden büyüklüğünü artırmak veya azaltmak, onun bileşenlerini aynı oranda değiştirmek anlamına gelir. Şimdi adım adım çözümümüze geçelim:

• 1. Adım: Başlangıçtaki Vektörün Büyüklüğünü Bulma

  Öncelikle, bize verilen $F_x = 15$ birim ve $F_y = 20$ birim bileşenlere sahip vektörün başlangıçtaki büyüklüğünü (şiddetini) hesaplayalım. Bir vektörün büyüklüğü, Pisagor teoremi kullanılarak bulunur:

  $F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2}$

  Değerleri yerine koyarsak:

  $F_{başlangıç} = \sqrt{15^2 + 20^2}$

  $F_{başlangıç} = \sqrt{225 + 400}$

  $F_{başlangıç} = \sqrt{625}$

  $F_{başlangıç} = 25$ birim.

  Yani, başlangıçtaki vektörümüzün büyüklüğü 25 birimdir.

• 2. Adım: Büyüklükteki Değişim Oranını (Ölçekleme Faktörünü) Belirleme

  Vektörün büyüklüğünü 25 birimden 50 birime çıkarmak istiyoruz. "Vektörün doğrultusunu değiştirmeden" ifadesi, vektörün yönünün aynı kalması gerektiği anlamına gelir. Bu durumda, vektörün tüm bileşenleri aynı oranda (aynı ölçekleme faktörüyle) değişmelidir.

  İstenen yeni büyüklük $F_{yeni} = 50$ birim.

  Başlangıçtaki büyüklük $F_{başlangıç} = 25$ birim.

  Ölçekleme faktörü ($k$) şu şekilde bulunur:

  $k = \frac{F_{yeni}}{F_{başlangıç}}$

  $k = \frac{50}{25}$

  $k = 2$

  Bu, vektörün büyüklüğünü 2 katına çıkarmamız gerektiği anlamına gelir.

• 3. Adım: Yeni Bileşenleri Hesaplama

  Vektörün doğrultusunu değiştirmeden büyüklüğünü 2 katına çıkarmak için, her bir bileşeni de aynı ölçekleme faktörü ($k=2$) ile çarpmamız gerekir.

  Yeni $F_x$ bileşeni ($F_x'$):

  $F_x' = k \times F_x$

  $F_x' = 2 \times 15$

  $F_x' = 30$ birim.

  Yeni $F_y$ bileşeni ($F_y'$):

  $F_y' = k \times F_y$

  $F_y' = 2 \times 20$

  $F_y' = 40$ birim.

  Buna göre, vektörün büyüklüğünü 50 birim yapmak için bileşenler $F_x=30$ birim ve $F_y=40$ birim olmalıdır.

Cevap B seçeneğidir.