Bir dik üçgende dar açılardan birinin sinüs değeri 0,8 olduğuna göre, aynı açının kosinüs değeri kaçtır?
A) 0,4Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için dik üçgenlerdeki temel trigonometrik bağıntılardan birini kullanacağız. Haydi adım adım ilerleyelim:
Bize bir dik üçgende dar açılardan birinin sinüs değeri verilmiş. Bu açıya $\alpha$ (alfa) diyelim. Verilen bilgi şudur: $\sin(\alpha) = 0,8$. Bizden istenen ise aynı açının kosinüs değeri, yani $\cos(\alpha)$ değeridir.
Dik üçgenlerdeki sinüs ve kosinüs değerleri arasında çok önemli bir ilişki vardır. Bu ilişki, Pisagor Teoremi'nden türetilen temel trigonometrik özdeşliktir:
$\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$
Bu özdeşlik, bir açının sinüs ve kosinüs değerlerinin karelerinin toplamının her zaman $1$'e eşit olduğunu söyler. Bu özdeşlik, birini bildiğimizde diğerini bulmamızı sağlar.
Bize $\sin(\alpha) = 0,8$ verildiği için, bu değeri özdeşlikte yerine yazalım:
$(0,8)^2 + \cos^2(\alpha) = 1$
$0,8$'in karesini alalım:
$0,8 \times 0,8 = 0,64$
Şimdi denklemimiz şu hale gelir:
$0,64 + \cos^2(\alpha) = 1$
Denklemde $\cos^2(\alpha)$'yı yalnız bırakmak için $0,64$'ü eşitliğin diğer tarafına atalım (çıkaralım):
$\cos^2(\alpha) = 1 - 0,64$
$\cos^2(\alpha) = 0,36$
Şimdi $\cos^2(\alpha)$ değerini bulduğumuza göre, $\cos(\alpha)$ değerini bulmak için her iki tarafın karekökünü almalıyız:
$\cos(\alpha) = \sqrt{0,36}$
Karekök alma işlemi sonucunda pozitif ve negatif iki değer elde ederiz (örneğin $\sqrt{4}$ hem $2$ hem de $-2$ olabilir). Ancak, bir dik üçgendeki dar açının kosinüs değeri her zaman pozitif olmak zorundadır. Bu nedenle pozitif değeri seçeceğiz.
$\sqrt{0,36} = 0,6$
Yani, $\cos(\alpha) = 0,6$ buluruz.
Bu durumda, aynı açının kosinüs değeri $0,6$'dır.
Cevap C seçeneğidir.
