10. Sınıf sin²α + cos²α = 1 Özdeşliği Test 1

Bir dik üçgende dar açılardan birinin sinüs değeri 0,8 olduğuna göre, aynı açının kosinüs değeri kaçtır?

A) 0,4
B) 0,5
C) 0,6
D) 0,7

Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için dik üçgenlerdeki temel trigonometrik bağıntılardan birini kullanacağız. Haydi adım adım ilerleyelim:

• 1. Adım: Soruyu Anlayalım ve Verilenleri Belirleyelim

  Bize bir dik üçgende dar açılardan birinin sinüs değeri verilmiş. Bu açıya $\alpha$ (alfa) diyelim. Verilen bilgi şudur: $\sin(\alpha) = 0,8$. Bizden istenen ise aynı açının kosinüs değeri, yani $\cos(\alpha)$ değeridir.

• 2. Adım: Temel Trigonometrik Özdeşliği Hatırlayalım

  Dik üçgenlerdeki sinüs ve kosinüs değerleri arasında çok önemli bir ilişki vardır. Bu ilişki, Pisagor Teoremi'nden türetilen temel trigonometrik özdeşliktir:

  $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$

  Bu özdeşlik, bir açının sinüs ve kosinüs değerlerinin karelerinin toplamının her zaman $1$'e eşit olduğunu söyler. Bu özdeşlik, birini bildiğimizde diğerini bulmamızı sağlar.

• 3. Adım: Verilen Değeri Özdeşlikte Yerine Koyalım

  Bize $\sin(\alpha) = 0,8$ verildiği için, bu değeri özdeşlikte yerine yazalım:

  $(0,8)^2 + \cos^2(\alpha) = 1$

• 4. Adım: Kare Alma İşlemini Yapalım

  $0,8$'in karesini alalım:

  $0,8 \times 0,8 = 0,64$

  Şimdi denklemimiz şu hale gelir:

  $0,64 + \cos^2(\alpha) = 1$

• 5. Adım: $\cos^2(\alpha)$ Değerini Bulalım

  Denklemde $\cos^2(\alpha)$'yı yalnız bırakmak için $0,64$'ü eşitliğin diğer tarafına atalım (çıkaralım):

  $\cos^2(\alpha) = 1 - 0,64$

  $\cos^2(\alpha) = 0,36$

• 6. Adım: $\cos(\alpha)$ Değerini Bulalım

  Şimdi $\cos^2(\alpha)$ değerini bulduğumuza göre, $\cos(\alpha)$ değerini bulmak için her iki tarafın karekökünü almalıyız:

  $\cos(\alpha) = \sqrt{0,36}$

  Karekök alma işlemi sonucunda pozitif ve negatif iki değer elde ederiz (örneğin $\sqrt{4}$ hem $2$ hem de $-2$ olabilir). Ancak, bir dik üçgendeki dar açının kosinüs değeri her zaman pozitif olmak zorundadır. Bu nedenle pozitif değeri seçeceğiz.

  $\sqrt{0,36} = 0,6$

  Yani, $\cos(\alpha) = 0,6$ buluruz.

Bu durumda, aynı açının kosinüs değeri $0,6$'dır.

Cevap C seçeneğidir.