10. Sınıf sin²α + cos²α = 1 Özdeşliği Test 1

sinθ + cosθ = 1,2 olduğuna göre, sinθ × cosθ ifadesinin değeri kaçtır?

A) 0,22
B) 0,32
C) 0,42
D) 0,52

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, $\sin\theta$ ve $\cos\theta$'nın toplamı verildiğinde, çarpımlarını bulmamız isteniyor. Bu tür soruları çözerken, temel trigonometrik özdeşlikleri ve cebirsel açılımları kullanmak çok işimize yarar. Hadi adım adım çözelim:

• Adım 1: Verilen ifadeyi yazalım.

  Bize $\sin\theta + \cos\theta = 1,2$ ifadesi verilmiş.

• Adım 2: Her iki tarafın karesini alalım.

  Amacımız $\sin\theta \times \cos\theta$ ifadesini elde etmek. Bu ifadeyi genellikle $(\sin\theta + \cos\theta)^2$ veya $(\sin\theta - \cos\theta)^2$ gibi ifadelerin açılımında buluruz. Bu yüzden, verilen ifadenin her iki tarafının karesini alarak işe başlayalım:

  $(\sin\theta + \cos\theta)^2 = (1,2)^2$

• Adım 3: Sol tarafı cebirsel özdeşlik kullanarak açalım.

  Hatırlayalım ki $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ şeklindedir. Bu özdeşliği $\sin\theta$ ve $\cos\theta$ için uygulayalım:

  $\sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = (1,2)^2$

• Adım 4: Temel trigonometrik özdeşliği kullanalım.

  Trigonometrinin en temel özdeşliklerinden biri $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$'dir. Bu özdeşliği denklemimizde yerine yazalım:

  $1 + 2\sin\theta\cos\theta = (1,2)^2$

• Adım 5: Sağ tarafın karesini hesaplayalım.

  $1,2$'nin karesi $1,2 \times 1,2 = 1,44$ eder. Şimdi denklemimiz şu hale gelir:

  $1 + 2\sin\theta\cos\theta = 1,44$

• Adım 6: $\sin\theta \times \cos\theta$ ifadesini yalnız bırakalım.

  Şimdi denklemi çözerek istediğimiz ifadeyi bulalım. Önce $1$'i karşıya atalım:

  $2\sin\theta\cos\theta = 1,44 - 1$

  $2\sin\theta\cos\theta = 0,44$

• Adım 7: Sonucu bulmak için her iki tarafı $2$'ye bölelim.

  $\sin\theta\cos\theta = \frac{0,44}{2}$

  $\sin\theta\cos\theta = 0,22$

Böylece $\sin\theta \times \cos\theta$ ifadesinin değerini $0,22$ olarak bulmuş olduk.

Cevap A seçeneğidir.