Gerçel sayılar kümesinde "∃x, x + 3 < x" önermesi için ne söylenebilir?
A) Doğrudur çünkü bazı x değerleri için geçerlidirBu soruda, gerçel sayılar kümesinde tanımlanmış bir önermenin doğruluk değerini bulmamız isteniyor. Önerme şöyledir: "$\exists x, x + 3 < x$".
Öncelikle, önermenin ne anlama geldiğini anlayalım. "$\exists x$" sembolü "En az bir $x$ vardır ki..." veya "Bazı $x$ değerleri için..." anlamına gelir. Dolayısıyla, önerme "Gerçel sayılar kümesinde öyle bir $x$ değeri vardır ki, $x + 3 < x$ eşitsizliği sağlanır." demektir. Bir önermenin doğru olması için, bu eşitsizliği sağlayan en az bir tane gerçel $x$ değeri bulmamız yeterlidir. Eğer böyle bir $x$ değeri yoksa, önerme yanlış olur.
Şimdi önermenin içerdiği eşitsizliği inceleyelim ve çözmeye çalışalım: $x + 3 < x$.
Bu eşitsizliği çözmek için, $x$ terimlerini bir tarafta toplamak amacıyla eşitsizliğin her iki tarafından $x$ değerini çıkaralım:
$x + 3 - x < x - x$
Eşitsizliği basitleştirdiğimizde şu ifadeyi elde ederiz:
$3 < 0$
Şimdi bu son ifadeyi değerlendirelim: "$3$ küçüktür $0$". Bu ifade doğru mudur? Hayır, $3$ sayısı $0$'dan küçük değildir, aksine $3$ sayısı $0$'dan büyüktür. Yani, "$3 < 0$" ifadesi yanlış bir matematiksel ifadedir.
Eşitsizliğin $x$'ten bağımsız olarak her zaman yanlış bir ifadeye dönüşmesi, $x + 3 < x$ eşitsizliğini sağlayan hiçbir gerçel $x$ değeri olmadığı anlamına gelir. Hangi gerçel sayıyı $x$ yerine koyarsak koyalım, eşitsizlik her zaman $3 < 0$ gibi yanlış bir ifadeye dönüşecektir.
Önermemiz "En az bir $x$ değeri vardır ki $x + 3 < x$ eşitsizliği sağlanır." şeklindeydi. Ancak biz, böyle bir $x$ değerinin olmadığını bulduk. Bu durumda, önermenin kendisi yanlış olur.
Bu sonuç, B seçeneğinde belirtilen "Yanlıştır çünkü hiçbir x değeri için sağlanmaz" ifadesiyle tamamen örtüşmektedir. Diğer seçenekler ise yanlış çıkarımlar içermektedir.
Cevap B seçeneğidir.
