Doğrudan ispat yöntemi kullanılarak "|x| < 2 ise x² < 4" önermesi nasıl kanıtlanır?
A) x² ≥ 4 ise |x| ≥ 2 olduğu gösterilirDoğrudan ispat yöntemi, bir önermenin ($P \implies Q$) doğruluğunu kanıtlamak için $P$ önermesinin doğru olduğunu varsayıp, bu varsayımdan yola çıkarak $Q$ önermesinin de doğru olduğunu mantıksal adımlarla göstermektir.
Kanıtlamamız gereken önerme "$|x| < 2$ ise $x^2 < 4$" şeklindedir.
Burada $P$ önermesi: $|x| < 2$.
Burada $Q$ önermesi: $x^2 < 4$.
Doğrudan ispat için $P$ önermesinin doğru olduğunu varsayacağız ve bu varsayımdan $Q$ önermesine ulaşmaya çalışacağız.
Varsayımımız $P: |x| < 2$ olsun. Mutlak değer tanımına göre, bir sayının mutlak değerinin $2$'den küçük olması demek, o sayının $-2$ ile $2$ arasında olması demektir. Yani:
$|x| < 2 \implies -2 < x < 2$
Bu, $x$ sayısının $-2$'den büyük ve aynı zamanda $2$'den küçük olduğu anlamına gelir.
Şimdi $-2 < x < 2$ eşitsizliğinden $x^2 < 4$ eşitsizliğine ulaşmaya çalışalım. Bu eşitsizliği farklı durumlar için inceleyebiliriz:
Durum 1: $x = 0$ ise
$x^2 = 0^2 = 0$. Bu durumda $0 < 4$ eşitsizliği sağlanır.
Durum 2: $0 < x < 2$ ise (pozitif $x$ değerleri)
Eşitsizliğin her iki tarafının karesini aldığımızda (pozitif sayılar için eşitsizlik yön değiştirmez):
$x < 2 \implies x^2 < 2^2 \implies x^2 < 4$
Durum 3: $-2 < x < 0$ ise (negatif $x$ değerleri)
Bu aralıktaki sayılar için $x$ negatif olduğundan, karesini alırken dikkatli olmalıyız. Eşitsizliğin her tarafını $-1$ ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirir:
$-2 < x < 0 \implies 0 < -x < 2$
Şimdi $0 < -x < 2$ eşitsizliğinin her tarafının karesini alalım:
$0^2 < (-x)^2 < 2^2 \implies 0 < x^2 < 4$
Her üç durumda da, eğer $|x| < 2$ ise, $x^2 < 4$ olduğu görülmektedir.
Yukarıdaki adımlar, $|x| < 2$ varsayımından yola çıkarak $x^2 < 4$ sonucuna doğrudan ulaştığımızı göstermektedir. Bu da doğrudan ispat yönteminin uygulandığı anlamına gelir.
Bu açıklama, C seçeneğinde belirtilen adımları takip etmektedir: "$|x| < 2$ ise $-2 < x < 2$, dolayısıyla $x^2 < 4$ olur".
Cevap C seçeneğidir.
