Açıortay Kuralı Nedir? Test 1

ABC dik üçgeninde [AD] açıortaydır. m(∠BAC) = 90°, |AB| = 6 cm ve |AC| = 8 cm olduğuna göre |BD| kaç cm'dir?

A) 3
B) 4
C) 5
D) 6

Bu soruda bir dik üçgen ve bir açıortay ile ilgili bir problem çözeceğiz. Adım adım ilerleyerek sonuca ulaşalım.

• 1. Adım: Üçgenin Hipotenüs Uzunluğunu Bulma

  ABC dik üçgeninde dik kenarların uzunlukları $|AB| = 6$ cm ve $|AC| = 8$ cm olarak verilmiştir. Dik üçgenlerde hipotenüs uzunluğunu bulmak için Pisagor Teoremi'ni kullanırız. Pisagor Teoremi'ne göre, dik kenarların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir.

  $|BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2$

  $|BC|^2 = 6^2 + 8^2$

  $|BC|^2 = 36 + 64$

  $|BC|^2 = 100$

  $|BC| = \sqrt{100}$

  $|BC| = 10$ cm

  Böylece, üçgenin hipotenüs uzunluğunu $10$ cm olarak bulduk.

• 2. Adım: Açıortay Teoremi'ni Uygulama

  [AD] doğru parçası, $\angle BAC$ açısının açıortayıdır. Bir üçgende açıortay, karşı kenarı, diğer iki kenarın oranında böler. Bu kurala Açıortay Teoremi denir.

  Açıortay Teoremi'ne göre:

  $\frac{|BD|}{|CD|} = \frac{|AB|}{|AC|}$

  Verilen kenar uzunluklarını yerine yazalım:

  $\frac{|BD|}{|CD|} = \frac{6}{8}$

  Oranı sadeleştirelim:

  $\frac{|BD|}{|CD|} = \frac{3}{4}$

  Bu oran, $|BD|$ uzunluğunun $3k$ ve $|CD|$ uzunluğunun $4k$ şeklinde ifade edilebileceği anlamına gelir (burada $k$ bir orantı sabitidir).

• 3. Adım: $|BD|$ Uzunluğunu Hesaplama

  Biz biliyoruz ki $|BC|$ kenarı, $|BD|$ ve $|CD|$ uzunluklarının toplamına eşittir: $|BC| = |BD| + |CD|$.

  1. adımda $|BC| = 10$ cm bulmuştuk.

  2. adımda $|BD| = 3k$ ve $|CD| = 4k$ olarak ifade etmiştik.

  Bu değerleri yerine yazalım:

  $10 = 3k + 4k$

  $10 = 7k$

  $k = \frac{10}{7}$

  Şimdi $|BD|$ uzunluğunu bulmak için $k$ değerini yerine koyalım:

  $|BD| = 3k = 3 \cdot \frac{10}{7}$

  $|BD| = \frac{30}{7}$ cm

Bu durumda, $|BD|$ uzunluğu $\frac{30}{7}$ cm'dir.

Cevap A seçeneğidir.