Açıortay Kuralı Nedir?

Question

Üçgende bir açıyı iki eşit parçaya bölen doğruya açıortay diyoruz. Açıortay kuralında, bu doğrunun kenarlarla birleştiği noktaların oluşturduğu oranları anlamakta zorlanıyorum. Özellikle, kenar uzunlukları verildiğinde bu oranları nasıl kullanacağımı tam olarak kavrayamadım.

Answer 1

Açıortay Kuralı Nedir?

Açıortay kuralı, bir üçgende bir açıyı iki eşit parçaya bölen doğrunun (açıortayın), karşı kenarı komşu kenarların uzunluklarıyla orantılı olarak böldüğünü ifade eden bir geometri teoremidir.

Açıortay Kuralının İki Türü

Açıortay kuralı iki şekilde karşımıza çıkar:

• İç Açıortay Kuralı
• Dış Açıortay Kuralı

1. İç Açıortay Kuralı

Bir üçgende bir köşeden çizilen iç açıortay, karşı kenarı komşu kenarlarla orantılı parçalara böler.

Aşağıdaki ABC üçgenini düşünelim:

• Kenar uzunlukları: \(|BC| = a\), \(|AC| = b\), \(|AB| = c\)
• A köşesinden çizilen iç açıortay, [BC] kenarını D noktasında kessin.

İç açıortay kuralına göre aşağıdaki orantı geçerlidir:

\( \frac{|BD|}{|DC|} = \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{c}{b} \)

Yani, açıortayın kestiği nokta, karşı kenarı komşu kenarların oranında böler.

2. Dış Açıortay Kuralı

Bir üçgende bir köşeden çizilen dış açıortay, karşı kenarın uzantısını komşu kenarlarla orantılı parçalara böler.

Yine ABC üçgeninde:

• A köşesinden çizilen dış açıortay, [BC] kenarının uzantısını E noktasında kessin.

Dış açıortay kuralına göre aşağıdaki orantı geçerlidir:

\( \frac{|BE|}{|CE|} = \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{c}{b} \)

Burada dikkat edilmesi gereken nokta, E noktasının kenarın uzantısında olduğudur.

Formüllerin Hatırlanması

Kuralı şu şekilde basitçe hatırlayabilirsiniz: Açıortay (hem iç hem de dış), karşı kenarı, açıortayın çıktığı köşedeki iki kenarın uzunlukları oranında böler.

Örnek

Bir ABC üçgeninde, \(|AB| = 6\) cm, \(|AC| = 4\) cm ve \(|BC| = 7\) cm olsun. A köşesinden çizilen iç açıortay [BC] kenarını D noktasında kessin.

İç açıortay kuralını uygularsak:

\( \frac{|BD|}{|DC|} = \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \)

\( |BD| = \frac{3}{5} \times 7 = 4.2 \) cm

\( |DC| = \frac{2}{5} \times 7 = 2.8 \) cm

Sonuç olarak, iç açıortay [BC] kenarını |BD| = 4.2 cm ve |DC| = 2.8 cm olacak şekilde böler.