6. sınıf matematik doğal sayıları asal çarpanlarına ayırma yöntemleri

Question

Bu konuyu anlamakta biraz zorlanıyorum. Özellikle çarpan ağacı mı yoksa bölen listesi yöntemini mi kullanmam gerektiğine karar veremiyorum. Asal sayıları bulup, sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak bölmekte bazen hata yapıyorum.

Answer 1

Doğal Sayıları Asal Çarpanlarına Ayırma

Bir doğal sayıyı, asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazmaya asal çarpanlara ayırma denir. Bu işlemi yapmak için en çok kullanılan iki yöntem vardır: Çarpan Ağacı ve Bölen Listesi.

1. Çarpan Ağacı Yöntemi

Bu yöntemde sayıyı, en küçük asal sayıdan başlayarak sürekli böleriz ve bir ağaç şekli oluştururuz.

Örnek: 36'yı asal çarpanlarına ayıralım.

• 36'yı iki çarpanın çarpımı şeklinde yazalım: 36 = 6 x 6
• 6 asal sayı değildir. 6'yı da iki çarpanın çarpımı şeklinde yazalım: 6 = 2 x 3
• 2 ve 3 asal sayılardır. Artık bölmeyi durdurabiliriz.

Sonuç olarak, 36 = 2 x 3 x 2 x 3 şeklinde yazılır. Bunu üslü ifade olarak şöyle gösterebiliriz:

\( 36 = 2^2 \times 3^2 \)

2. Bölen Listesi Yöntemi

Bu yöntemde sayıyı, en küçük asal sayıdan başlayarak sırayla böleriz. Bölme işlemi, bölüm 1 olana kadar devam eder.

Örnek: 60'ı asal çarpanlarına ayıralım.

• 60'ı en küçük asal sayı olan 2'ye bölelim. \( 60 \div 2 = 30 \)
• 30'u 2'ye bölelim. \( 30 \div 2 = 15 \)
• 15, 2'ye tam bölünmez. Bir sonraki asal sayı olan 3'e bölelim. \( 15 \div 3 = 5 \)
• 5, 3'e tam bölünmez. Bir sonraki asal sayı olan 5'e bölelim. \( 5 \div 5 = 1 \)
• Bölüm 1 olduğu için işlemimiz bitti.

Kullandığımız asal bölenler: 2, 2, 3 ve 5'tir.

Sonuç olarak, \( 60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 \) veya \( 60 = 2^2 \times 3 \times 5 \) şeklinde yazılır.

Püf Noktaları

• Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırırken, bölme işlemine her zaman en küçük asal sayıdan (2) başlarız.
• Sayı, böldüğümüz asal sayıya tam bölünmüyorsa, bir sonraki asal sayıya (3, 5, 7...) geçeriz.
• Hangi yöntemi kullanırsak kullanalım, sonuç değişmez. Bir sayının asal çarpanları her zaman aynıdır.

Answer 2

6. Sınıf Matematik Doğal Sayıları Asal Çarpanlarına Ayırma Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir çiftçi, bahçesindeki 60 tane ağacı eşit sayıda ağaç olacak şekilde sıralara dizmek istiyor. Her sırada 10'dan fazla ağaç olmasını istemeyen çiftçi, kaç farklı şekilde sıralama yapabilir?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
Cevap: B
Çözüm: 60'ın 10'dan küçük çarpanları bulunur. 60'ın çarpanları: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. 10'dan küçük olanlar: 1, 2, 3, 4, 5, 6 → 6 farklı şekilde sıralama yapılabilir.

Soru 2: Bir fabrikada üretilen 84 adet oyuncağın her bir kutuya eşit sayıda ve 5'ten fazla oyuncak konularak paketlenmesi isteniyor. Kutulardan birinin üzerinde "Bu kutuda asal sayıda oyuncak vardır" yazdığına göre, bu kutuda kaç oyuncak olabilir?
a) 6
b) 7
c) 12
d) 14
Cevap: B
Çözüm: 84'ün 5'ten büyük çarpanları: 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84. Bunlar içinde asal olan sadece 7'dir.

Soru 3: Asal çarpanları 2, 3 ve 5 olan iki basamaklı en büyük doğal sayı ile iki basamaklı en küçük doğal sayının toplamı kaçtır?
a) 90
b) 120
c) 150
d) 180
Cevap: C
Çözüm: Asal çarpanları 2, 3 ve 5 olan sayılar \(2 × 3 × 5 = 30\)'un katlarıdır. İki basamaklı en büyük: 90, en küçük: 30. Toplam: 90 + 30 = 120.

Soru 4: Bir öğretmen tahtaya 54 sayısını yazıyor ve öğrencilerden bu sayıyı asal çarpanlarına ayırmalarını istiyor. Aşağıdaki öğrencilerden hangisi doğru çözümü yapmıştır?
a) \(54 = 2 × 3^2\)
b) \(54 = 2^2 × 3^3\)
c) \(54 = 2 × 3^3\)
d) \(54 = 2^3 × 3^2\)
Cevap: C
Çözüm: 54'ü asal çarpanlarına ayıralım: \(54 ÷ 2 = 27\), \(27 ÷ 3 = 9\), \(9 ÷ 3 = 3\), \(3 ÷ 3 = 1\). Yani \(54 = 2 × 3 × 3 × 3 = 2 × 3^3\).