Sevgili öğrenciler, bir fonksiyonun tanımlı olabilmesi için belirli şartları sağlaması gerekir. Özellikle logaritma fonksiyonları için bu şart çok önemlidir. Şimdi $ln(2x+8)$ fonksiyonunun hangi $x$ değerleri için tanımlı olduğunu adım adım inceleyelim.
- Logaritma Fonksiyonunun Tanım Kümesi Kuralı: Bir logaritma fonksiyonu, örneğin $ln(u)$ veya $log_b(u)$, ancak ve ancak logaritmanın içindeki ifade (argüman) sıfırdan büyük olduğunda tanımlıdır. Yani, $u > 0$ olmalıdır. Bu kural, logaritmanın negatif sayılar veya sıfır için tanımlı olmamasından kaynaklanır.
- Fonksiyonumuzdaki Argümanı Belirleme: Bize verilen fonksiyon $ln(2x+8)$'dir. Burada logaritmanın argümanı, yani logaritmanın parantez içindeki ifadesi, $2x+8$'dir.
- Tanım Kümesi Kuralını Uygulama: Logaritmanın tanımlı olabilmesi için argümanının sıfırdan büyük olması gerektiğini biliyoruz. Bu durumda, $2x+8 > 0$ eşitsizliğini çözmemiz gerekiyor.
- Eşitsizliği Çözme - Adım 1: Eşitsizliğin her iki tarafından 8 çıkaralım. Amacımız $x$'li terimi yalnız bırakmaktır:
$2x+8-8 > 0-8$
Bu işlem sonucunda eşitsizliğimiz $2x > -8$ haline gelir.
- Eşitsizliği Çözme - Adım 2: Şimdi $x$'i tamamen yalnız bırakmak için eşitsizliğin her iki tarafını 2'ye bölelim. Pozitif bir sayıya (2'ye) böldüğümüz için eşitsizlik yön değiştirmez:
$\frac{2x}{2} > \frac{-8}{2}$
- Eşitsizliği Çözme - Sonuç: Bu işlemler sonucunda $x > -4$ sonucuna ulaşırız.
- Sonuç ve Aralık Gösterimi: $ln(2x+8)$ fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için $x$ değerinin -4'ten büyük olması gerekmektedir. Bu da $x \in (-4, \infty)$ aralığı anlamına gelir.
Seçeneklere baktığımızda, bulduğumuz $x > -4$ koşulunun A seçeneği ile aynı olduğunu görüyoruz.
Cevap A seçeneğidir.
