\( f(x) = -x^2 + 4x + k \) fonksiyonunun maksimum değeri 8 olduğuna göre k kaçtır?
A) 2Merhaba öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek parabol konusunu daha iyi anlamanızı sağlayacağım. Hazırsanız başlayalım!
Verilen fonksiyon $f(x) = -x^2 + 4x + k$ ikinci dereceden bir fonksiyondur. $x^2$'nin katsayısı negatif olduğu için bu bir parabol belirtir ve parabolün kolları aşağıya doğrudur. Bu da fonksiyonun bir maksimum değeri olduğu anlamına gelir.
Parabolün maksimum değeri, tepe noktasında oluşur. Tepe noktasının x koordinatını bulmak için şu formülü kullanırız: $x_t = \frac{-b}{2a}$. Burada $a = -1$ ve $b = 4$'tür.
O halde, $x_t = \frac{-4}{2 \cdot (-1)} = \frac{-4}{-2} = 2$ olur.
Tepe noktasının y koordinatı, fonksiyonun maksimum değeridir. Bunu bulmak için $x_t = 2$'yi fonksiyonda yerine koyarız:
$f(2) = -(2)^2 + 4 \cdot 2 + k = -4 + 8 + k = 4 + k$
Soruda, fonksiyonun maksimum değerinin 8 olduğu verilmiş. Yani $f(2) = 8$'dir.
Bu durumda, $4 + k = 8$ denklemini çözerek $k$ değerini bulabiliriz.
$k = 8 - 4 = 4$
Dolayısıyla, $k = 4$'tür.
Cevap B seçeneğidir.
