9. Sınıf Kök Dereceleri Farklı Olan Köklü Gösterimlerle Çarpma ve Bölme İşlemleri Nasıl Yapılır?

Question

Kök dereceleri farklı olan köklü sayılarla işlem yaparken önce kök derecelerini eşitlememiz gerekiyor. Dereceleri eşitledikten sonra normal çarpma veya bölme kurallarını uygulayabiliyoruz ama bu kısımda takılıyorum. Özellikle kök içindeki sayılar farklı olduğunda nasıl bir yol izlemeliyim?

Answer 1

Kök Dereceleri Farklı Olan Köklü Sayılarla Çarpma ve Bölme

Kök dereceleri farklı olan köklü sayılarla işlem yapabilmek için öncelikle kök derecelerini eşitlememiz gerekir. Bunun için kök derecelerinin en küçük ortak katını (EKOK) buluruz.

Çarpma İşlemi

İki köklü sayıyı çarparken:

1. Kök derecelerinin EKOK'unu bul
2. Her iki köklü ifadeyi bu ortak dereceye getir
3. Katsayıları çarp, kök içlerini çarp

Örnek: \( \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt{2} \) işlemini yapalım:

• Kök dereceleri: 3 ve 2 → EKOK(3,2) = 6
• \( \sqrt[3]{4} = \sqrt[6]{4^2} = \sqrt[6]{16} \)
• \( \sqrt{2} = \sqrt[6]{2^3} = \sqrt[6]{8} \)
• \( \sqrt[6]{16} \cdot \sqrt[6]{8} = \sqrt[6]{16 \cdot 8} = \sqrt[6]{128} \)

Bölme İşlemi

İki köklü sayıyı bölerken:

1. Kök derecelerinin EKOK'unu bul
2. Her iki köklü ifadeyi bu ortak dereceye getir
3. Katsayıları böl, kök içlerini böl

Örnek: \( \sqrt[4]{8} \div \sqrt{2} \) işlemini yapalım:

• Kök dereceleri: 4 ve 2 → EKOK(4,2) = 4
• \( \sqrt[4]{8} \) zaten 4. dereceden
• \( \sqrt{2} = \sqrt[4]{2^2} = \sqrt[4]{4} \)
• \( \sqrt[4]{8} \div \sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{8 \div 4} = \sqrt[4]{2} \)

Önemli Kurallar

• Kök derecelerini eşitlemek için EKOK kullanılır
• Kök içindeki sayının üssü, kök derecesi ile çarpılır
• İşlem sonucunda kök içi mümkünse sadeleştirilmelidir

Hatırlatma: Kök dereceleri eşit olmadığı sürece doğrudan çarpma veya bölme yapamayız. Önce kök derecelerini eşitlemeliyiz.

Answer 2

9. Sınıf Kök Dereceleri Farklı Olan Köklü Gösterimlerle Çarpma ve Bölme İşlemleri Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir marangoz, genişliği \( \sqrt[3]{8} \) cm ve uzunluğu \( \sqrt{18} \) cm olan dikdörtgen şeklinde bir tahta parçasının alanını hesaplamak istiyor. Buna göre tahta parçasının alanı kaç cm²'dir?
a) 6   b) 8   c) 10   d) 12   e) 14
Cevap: a) 6
Çözüm: Alan = \( \sqrt[3]{8} \times \sqrt{18} \) şeklinde hesaplanır. Önce kök derecelerini eşitleyelim: \( \sqrt[3]{8} = 8^{\frac{1}{3}} = 2 \), \( \sqrt{18} = 18^{\frac{1}{2}} \). Kök içlerini aynı derecedeki kökler şeklinde ifade edelim: \( 2 = \sqrt[6]{64} \) ve \( \sqrt{18} = \sqrt[6]{18^3} = \sqrt[6]{5832} \). Çarpım: \( \sqrt[6]{64 \times 5832} = \sqrt[6]{373248} \). \( 373248 = 6^6 \) olduğundan sonuç 6'dır.

Soru 2: \( \frac{\sqrt[4]{27} \times \sqrt{3}}{\sqrt[3]{9}} \) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( \sqrt[6]{3} \)   b) \( \sqrt[12]{3} \)   c) \( \sqrt{3} \)   d) \( \sqrt[4]{3} \)   e) \( \sqrt[3]{3} \)
Cevap: e) \( \sqrt[3]{3} \)
Çözüm: Tüm ifadeleri 3'ün kuvvetleri şeklinde yazalım: \( \sqrt[4]{27} = 3^{\frac{3}{4}} \), \( \sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}} \), \( \sqrt[3]{9} = 3^{\frac{2}{3}} \). İşlem: \( \frac{3^{\frac{3}{4}} \times 3^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{2}{3}}} = 3^{\frac{3}{4} + \frac{1}{2} - \frac{2}{3}} = 3^{\frac{9+6-8}{12}} = 3^{\frac{7}{12}} \). Bu ifade \( \sqrt[12]{3^7} = \sqrt[12]{2187} \) şeklindedir. \( 2187 = 3^7 \) olduğundan ve \( \frac{7}{12} \) ifadesi sadeleşmediğinden, ancak seçeneklerde \( \sqrt[3]{3} = 3^{\frac{1}{3}} \) verilmiştir. Kontrol edelim: \( 3^{\frac{7}{12}} = 3^{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}} \) şeklinde ayrılabilir ama bu soruda verilen seçenekler göz önüne alındığında, işlem hatası yapmadan \( 3^{\frac{3}{4} + \frac{1}{2}} = 3^{\frac{5}{4}} \), \( \frac{3^{\frac{5}{4}}}{3^{\frac{2}{3}}} = 3^{\frac{15-8}{12}} = 3^{\frac{7}{12}} \) bulunur. \( 3^{\frac{7}{12}} = (3^7)^{\frac{1}{12}} \) şeklinde yazılır. Seçeneklerde \( \sqrt[3]{3} = 3^{\frac{4}{12}} \) olduğundan eşit değildir. Ancak sorunun orijinal çözümünde üsler toplanırken payda eşitlenmesi doğru yapılmıştır. Seçenekler kontrol edildiğinde doğru cevap E seçeneği değildir, bu bir hata olmalı. Doğru işlem: \( \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{5}{4} \), \( \frac{5}{4} - \frac{2}{3} = \frac{15-8}{12} = \frac{7}{12} \). \( 3^{7/12}