Bir roketin kütlesi m, dışarı atılan gazların roket göre hızı u, ve kütle atım hızı dm/dt olarak veriliyor. Roketin hareket denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) m·dv/dt = u·dm/dt
B) m·dv/dt = -u·dm/dt
C) dv/dt = u·dm/dt
D) m·dv/dt = u·m
Roket hareket denklemini türetmek için momentumun korunumu ilkesini kullanırız. Bu ilke, dışarıdan herhangi bir net kuvvet etki etmediği sürece bir sistemin toplam momentumunun sabit kaldığını belirtir.
- Adım 1: Sistemi Tanımlama ve Başlangıç Momentumunu Belirleme
- $t$ anında, roketin kütlesi $m$ ve hızı $v$ olsun.
- Bu andaki roketin momentumu $P_t = mv$ olur.
- Adım 2: $dt$ Süre Sonraki Durumu ve Momentumunu Belirleme
- $dt$ gibi çok kısa bir süre sonra roketin kütlesi $dm$ kadar değişir ve hızı $dv$ kadar değişir.
- Bu durumda, roketin yeni kütlesi $m+dm$ ve yeni hızı $v+dv$ olur. (Burada $dm$, roketin kütlesindeki değişimi ifade eder. Roket kütle kaybettiği için $dm$ negatif bir değer olacaktır.)
- Roketten dışarı atılan gazın kütlesi $-dm$ olur (çünkü $dm$ negatif olduğundan, $-dm$ pozitif bir kütle miktarını temsil eder).
- Gazların rokete göre hızı $u$ olarak verilmiştir. Roket ileri yönde $v$ hızıyla hareket ederken, gazlar rokete göre geriye doğru $u$ hızıyla atıldığı için, gazların yere göre hızı $v-u$ olur.
- $t+dt$ anındaki toplam momentum $P_{t+dt}$ ise, roketin momentumu ile atılan gazın momentumunun toplamıdır:
$P_{t+dt} = (m+dm)(v+dv) + (-dm)(v-u)$
- Adım 3: Momentumun Korunumu İlkesini Uygulama
- Dışarıdan net bir kuvvet olmadığı varsayımıyla, sistemin momentumu korunur: $P_t = P_{t+dt}$
- $mv = (m+dm)(v+dv) + (-dm)(v-u)$
- Adım 4: Denklemi Açma ve Sadeleştirme
- Denklemi açalım:
$mv = mv + m dv + v dm + dm dv - v dm + u dm$
- Her iki taraftaki $mv$ terimini sadeleştirelim:
$0 = m dv + v dm + dm dv - v dm + u dm$
- $v dm$ terimleri birbirini götürür:
$0 = m dv + dm dv + u dm$
- $dm dv$ terimi, iki sonsuz küçük miktarın çarpımı olduğu için diğer terimlere göre çok daha küçüktür ve ihmal edilebilir:
$0 = m dv + u dm$
- Adım 5: Roket Hareket Denklemini Elde Etme
- Denklemi yeniden düzenlersek:
$m dv = -u dm$
- Her iki tarafı $dt$ zaman aralığına bölersek, roketin ivmesini veren denklemi elde ederiz:
$m \frac{dv}{dt} = -u \frac{dm}{dt}$
- Adım 6: İşaretlerin Anlamını Açıklama
- Bu denklemde $m$ roketin anlık kütlesi, $dv/dt$ roketin ivmesi, $u$ gazların rokete göre hızıdır.
- $dm/dt$ ise roketin kütlesindeki değişim hızıdır. Roket kütle kaybettiği için $dm$ negatiftir, dolayısıyla $dm/dt$ de negatif bir değerdir.
- Sağ taraftaki $-u \frac{dm}{dt}$ ifadesi, $u$ pozitif ve $dm/dt$ negatif olduğu için pozitif bir değer alır. Bu pozitif değer, roketi ileri doğru iten itme kuvvetini temsil eder.
Bu türetme sonucunda elde edilen denklem, seçenek B'deki ifade ile aynıdır.
Cevap B seçeneğidir.
