6. sınıf matematik dikme / paralel doğrular test çöz Test 1

Bir mimari projede iki duvarın kesişim açısı 90° olacak şekilde tasarlanmıştır. Mimar, bu iki duvarı temsil eden doğruların denklemlerini sırasıyla \(2x + 3y = 6\) ve \(ax - 6y = 4\) olarak belirlemiştir. Bu iki doğrunun dik olması için a'nın değeri kaç olmalıdır?

A) 4
B) 6
C) 9
D) 12

Bu soruda, bir mimari projede iki duvarın kesişim açısının $90^\circ$ olması, yani bu duvarları temsil eden doğruların birbirine dik olması durumu ele alınmıştır. İki doğrunun dik olması için eğimlerinin çarpımının $-1$ olması gerektiğini hatırlayalım. Şimdi adım adım çözüme geçelim:

• Adım 1: Birinci doğrunun eğimini ($m_1$) bulalım.

  Birinci doğrunun denklemi $2x + 3y = 6$ olarak verilmiştir. Bir doğrunun eğimini bulmak için denklemi $y = mx + b$ (eğim-kesim noktası formu) şekline getirmemiz gerekir. Burada $m$ eğimi temsil eder.

  $2x + 3y = 6$

  $3y = -2x + 6$

  Her tarafı $3$'e bölelim:

  $y = \frac{-2}{3}x + \frac{6}{3}$

  $y = -\frac{2}{3}x + 2$

  Bu durumda, birinci doğrunun eğimi $m_1 = -\frac{2}{3}$'tür.

• Adım 2: İkinci doğrunun eğimini ($m_2$) bulalım.

  İkinci doğrunun denklemi $ax - 6y = 4$ olarak verilmiştir. Aynı şekilde, denklemi $y = mx + b$ formuna getirelim.

  $ax - 6y = 4$

  $-6y = -ax + 4$

  Her tarafı $-6$'ya bölelim:

  $y = \frac{-a}{-6}x + \frac{4}{-6}$

  $y = \frac{a}{6}x - \frac{2}{3}$

  Bu durumda, ikinci doğrunun eğimi $m_2 = \frac{a}{6}$'dır.

• Adım 3: Diklik koşulunu uygulayarak 'a' değerini bulalım.

  İki doğru dik olduğunda, eğimlerinin çarpımı $-1$'e eşit olmalıdır. Yani $m_1 \cdot m_2 = -1$.

  $(-\frac{2}{3}) \cdot (\frac{a}{6}) = -1$

  Şimdi bu denklemi 'a' için çözelim:

  $-\frac{2a}{18} = -1$

  Kesri sadeleştirelim ($2$ ile):

  $-\frac{a}{9} = -1$

  Her iki tarafı $-1$ ile çarpalım:

  $a = 9$

Buna göre, iki doğrunun dik olması için 'a' değeri $9$ olmalıdır.

Cevap C seçeneğidir.