Bir matematik yarışmasında aşağıdaki işlem tanımlanmıştır:
a Δ b = 2a + 2b
Bu işlem için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Değişme özelliği vardır, birleşme özelliği yoktur
B) Birleşme özelliği vardır, değişme özelliği yoktur
C) Hem değişme hem birleşme özelliği vardır
D) Hiçbir özellik yoktur
Sevgili öğrenciler, bir matematiksel işlemin özelliklerini incelerken, her bir özelliği dikkatlice tanımlayıp verilen kurala göre uygulamak çok önemlidir. Şimdi, $a \Delta b = 2a + 2b$ olarak tanımlanan işlem için değişme ve birleşme özelliklerini adım adım kontrol edelim.
- Değişme Özelliği (Commutative Property)
- Değişme özelliği, bir işlemin operandlarının yerleri değiştiğinde sonucun değişmemesi anlamına gelir. Yani, $a \Delta b = b \Delta a$ eşitliğinin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edeceğiz.
- Öncelikle $a \Delta b$ ifadesini tanımlanan kurala göre yazalım: $a \Delta b = 2a + 2b$.
- Şimdi de $b \Delta a$ ifadesini yazalım. Burada birinci operand $b$, ikinci operand $a$ olduğu için kuralı buna göre uygulayacağız: $b \Delta a = 2b + 2a$.
- Gördüğümüz gibi, $2a + 2b$ ile $2b + 2a$ ifadeleri birbirine eşittir (toplama işleminin değişme özelliği sayesinde). Yani, $a \Delta b = b \Delta a$ eşitliği sağlanır.
- Bu durumda, verilen $\Delta$ işleminin değişme özelliği vardır.
- Birleşme Özelliği (Associative Property)
- Birleşme özelliği, üç veya daha fazla operand içeren bir işlemde, işlem sırasının (parantezlerin yerinin) sonucu değiştirip değiştirmediğini kontrol etmemizi sağlar. Yani, $(a \Delta b) \Delta c = a \Delta (b \Delta c)$ eşitliğinin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edeceğiz.
- Önce sol tarafı hesaplayalım: $(a \Delta b) \Delta c$
- İlk olarak parantez içindeki $a \Delta b$ işlemini yapalım: $a \Delta b = 2a + 2b$.
- Şimdi bu sonucu (diyelim ki $X = 2a + 2b$) kullanarak $X \Delta c$ işlemini yapalım. Kurala göre, birinci operand $X$, ikinci operand $c$ olacak: $X \Delta c = 2X + 2c$.
- $X$ yerine $2a + 2b$ yazarsak: $(a \Delta b) \Delta c = 2(2a + 2b) + 2c = 4a + 4b + 2c$.
- Şimdi de sağ tarafı hesaplayalım: $a \Delta (b \Delta c)$
- İlk olarak parantez içindeki $b \Delta c$ işlemini yapalım: $b \Delta c = 2b + 2c$.
- Şimdi bu sonucu (diyelim ki $Y = 2b + 2c$) kullanarak $a \Delta Y$ işlemini yapalım. Kurala göre, birinci operand $a$, ikinci operand $Y$ olacak: $a \Delta Y = 2a + 2Y$.
- $Y$ yerine $2b + 2c$ yazarsak: $a \Delta (b \Delta c) = 2a + 2(2b + 2c) = 2a + 4b + 4c$.
- Şimdi sol tarafın sonucu ($4a + 4b + 2c$) ile sağ tarafın sonucu ($2a + 4b + 4c$) birbirine eşit mi diye bakalım.
- Genel olarak, $4a + 4b + 2c \neq 2a + 4b + 4c$. Örneğin, $a=1, b=0, c=0$ değerlerini verirsek:
- Sol taraf: $4(1) + 4(0) + 2(0) = 4$.
- Sağ taraf: $2(1) + 4(0) + 4(0) = 2$.
- Gördüğümüz gibi, $4 \neq 2$. Bu durumda, verilen $\Delta$ işleminin birleşme özelliği yoktur.
- Sonuç
- Yaptığımız incelemeler sonucunda, $\Delta$ işleminin değişme özelliği olduğunu ancak birleşme özelliği olmadığını gördük.
- Bu durum, seçeneklerden A şıkkına uymaktadır.
Cevap A seçeneğidir.
